Resolución del mejor valor de ajuste $C$ en $\sqrt {\mathrm{Exp}_a^{[1/2]} (x) \cdot \mathrm{Exp}_b^{[1/2]} (x )} \sim\sim \mathrm{Exp}_C^{[1/2]} (x).$

Question

Dejemos que $\mathrm{Exp}_t^{[y]} (x)$ denotan el $y$ iteración de la función exponencial con base $t$ : $t^x.$

Por ejemplo $\mathrm{Exp}_t^{[1]} (x) = t^x$ .

Dejemos que $\sim\sim$ denotan el mejor ajuste.

Ahora como $x$ va al infinito positivo y un par $(a,b)$ con $e<a<b$ Se da , me pregunto cómo encontrar el valor base más adecuado $C$ tal que

$$\sqrt { \mathrm{Exp}_a^{[1/2]} (x) \cdot \mathrm{Exp}_b^{[1/2]} (x) } \sim\sim \mathrm{Exp}_C^{[1/2]} (x). $$

Definamos entonces $C = f(a,b)$ , suponiendo que $a< f(a,b) < \sqrt{ab} < b $ .

¿Cómo mejorar esos límites?

Cómo encontrar el valor $C$ ?

Abajo: Editar

Hay muchas soluciones para la tetración, pero yo hablo aquí de soluciones en las que $x>1$ , $b > a>e$ implica $\mathrm{Exp}_b^{[1/2]}(x) > \mathrm{Exp}_a^{[1/2]} (x)$ .

Observe que en ese caso $\mathrm{Exp}_t^{[1/2]} (x) $ es asintótica a $2 \sinh_t^{[1/2]} (x) $ y

$$ 2\sinh_t (x) = t^x - t^{-x} $$

Y $^{[1/2]}$ significa medio-itinerante como de costumbre.

Aviso $ 2\sinh_t $ tiene un punto fijo hiperbólico en $ x= 0$ . Así que utilizando la función koenigs obtenemos una solución a partir de ese punto fijo.

Además, fíjate que esto implica que todo el post se puede reformular reescribiendo Every $\mathrm{Exp}_t $ con $2\sinh_t$ .

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Así que tenemos el posiblemente más fácil :

Dejemos que $2\sinh_t^{[y]} (x) $ denotan el $y$ iteración de la función 2 veces sinh con base $t$ : $t^x - t^{-x}.$

Por ejemplo $2sinh_t^{[1]} (x) = t^x - t^{-x} $

Ahora como $x$ va al infinito positivo y un par $(a,b)$ con $e<a<b$ Se da , me pregunto cómo encontrar el valor base más adecuado $C$ tal que

$$\sqrt { 2\sinh_a^{[1/2]} (x) \cdot 2\sinh_b^{[1/2]} (x) } \sim\sim 2\sinh_C^{[1/2]} (x)~. $$

Esta edición podría ser útil para resolver el problema y aclarar el (objetivo de la) pregunta, evitar la confusión y abordar los comentarios de Sheldon.

Ver Función de Koenigs , tetration y el fuertemente relacionado

Fin de la edición

Answer 1

Considere la función $$g(x) = \text{slog}_e(\text{sexp}_2(z+0.5))-\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z))-0.5$$

si $g(z)=0\;$ entonces $\;\exp_e^{0.5}(\text{sexp}_2(z))=\exp_2^{0.5}(\text{sexp}_2(z))\;\;$ desde $\;\exp_e^{0.5}(\text{sexp}_2(z))=\text{sexp}_2(z+0.5)\;$ por lo que estamos comparando el slog_e de z y el medio iterado (base2) de z.

g(z) se aplica para base_2 y base_e, pero cualquier base puede funcionar. El operador dice: "USUALMENTE $\exp_e^{0.5}>\exp_w^{0.5}$ lo que implicaría $g(z)<0$ pero cuando z se hace arbitrariamente grande, g(z) pasa la mitad de su tiempo positivo y la otra mitad negativo. Si z es lo suficientemente grande, cuando se puede demostrar fácilmente que $g(z+1) \approx g(z)$ y $g(z+0.5) \approx -g(z)$ donde la aproximación se vuelve arbitrariamente buena a medida que z aumenta.

Primero demostramos que z es lo suficientemente grande, $\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z+1)) \approx \text{slog}_e(\text{sexp}_2(z))+1$ Paso 1: $$\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z)) = \text{slog}_e(2^{\text{sexp}_2(z-1))})$$ $$\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z)) = \text{slog}_e(\ln(2^{\text{sexp}_2(z-1))}))+1$$ $$\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z)) = \text{slog}_e(\ln(2) \cdot \text{sexp}_2(z-1))+1$$ de forma similar podemos escribir una ecuación para slog_e(sexp_2(z+1)) en términos de sexp_2(z-1) $$\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z+1)) = \text{slog}_e(\ln(2) \cdot \text{sexp}_2(z))+1$$ $$\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z+1)) = \text{slog}_e(\ln(2) \cdot 2^{\text{sexp}_2(z-1)})+1$$ $$\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z+1)) = \text{slog}_e(\ln(2) \cdot \text{sexp}_2(z-1)+\ln(\ln(2)))+2$$ Si z es lo suficientemente grande, entonces sexp_2(z-1) es lo suficientemente grande como para que el término ln(ln(2)) sea completamente insignificante. $$\text{slog}_e(\text{sexp}_2(z+1)) = \text{slog}_e(\ln(2) \cdot \text{sexp}_2(z-1))+2+O\frac{1}{\text{sexp}_2(z-1)} = \text{slog}_e(\text{sexp}_2(z))+1+O\frac{1}{\text{sexp}_2(z-1)} $$ Con un poco de álgebra $g(z+1) = g(z)+O\frac{1}{\text{sexp}_2(z-1)}$ donde g(z+1) se aproxima a g(z) a medida que z aumenta. Con un poco de álgebra, también podemos demostrar que $g(z+0.5)=-g(z) + O\frac{1}{\text{sexp}_2(z-1)}\;$ Por lo tanto, si $g(z)=0\;\;g(z+0.5)\;$ también se aproxima a cero a medida que aumenta z. Por lo tanto, a menos que g(z) llegue a cero para todo z a medida que z se hace arbitrariamente grande, g(z) pasará la mitad de su tiempo positivo y la mitad de su tiempo negativo.

Aquí hay dos gráficas de g(z), de -1 a 8, y otra que muestra el comportamiento asintótico. El primer cruce de cero se produce en x1~=4,61986470857217, sexp_2(x1)~=4,78924742892085E72 seguido de x2~=4,91660. los cruces de cero posteriores se producen en x~=5,41812556847432+0,5n, para los enteros n.

Answer 2

Mick, el Op comentó: "Tu predicción debe ser falsa Sheldon. Observa que si en el intervalo [0,t] para cualquier t>0 está ordenado entonces por inducción está ordenado en [t,oo]....

Mick buscaba cambiar de la 1/2 iteración de $\exp_a;\;\exp_b$ que no se ordenan a medida que x se hace arbitrariamente grande, a utilizar los medios iterados de $\text{2sinh}_a;\;\text{2sinh}_b$ que Mick pensó que se ordenaría. Eso no coincide con mis resultados. Definir $S_e$ como la superfunción de 2sinh para la base e, $\text{2sinh}_e(z)=e^z-e^{-z}$ , y definir $S_2$ como la superfunción de 2sinh para base 2, $\text{2sinh}_2(z)=2^z-2^{-z}$ . Estos medios iterados se generan a partir de la fija de cero por el método de Koenig, utilizando la ecuación de Schröder para generar las dos superfunciones analíticas siguientes:

$$S_e(z) = \text{2sinh}_e^{[z]}\;\;\;S_2(z) = \text{2sinh}_2^{[z]}$$ $$S_e(z+1) = \text{2sinh}_e(S_e(z));\;\;\;S_2(z+1) = \text{2sinh}_2(S_2(z))$$

De forma análoga a la anterior, consideremos la función $$g(x) = S^{-1}_2(S_e(x+0.5))-S^{-1}_2(S_e(x))-0.5$$

si $g(x)=0\;$ entonces $\;\text{2sinh}_e^{0.5}(S_e(x))=\text{2sinh}_2^{0.5}(S_e(x))\;\;$ desde $\;\text{2sinh}_2^{0.5}(S_e(x))=S_e(z+0.5)\;$ así que estamos comparando el medio iterado base 2 con el medio iterado base e.

$g(x)$ se aplica para base_2 y base_e, pero cualquier base puede funcionar. El operador espera que $\forall x; \; \text{2sinh}_e^{0.5}(x)>\text{2sinh}_2^{0.5}(x)$ lo que implicaría $\forall\; x\; g(x)>0$ pero computacionalmente como $x \to \infty, g(x)$ pasa la mitad de su tiempo en positivo y la otra mitad en negativo. Si x es lo suficientemente grande, cuando se puede demostrar fácilmente que $g(x+1) \approx g(x)$ y $g(x+0.5) \approx -g(x)$ donde la aproximación se vuelve arbitrariamente buena a medida que x aumenta.

Primero demostramos que x es lo suficientemente grande, $S^{-1}_2(S_e(x+1)) \approx S^{-1}_2(S_e(x))+1$ entonces demostramos que si x es lo suficientemente grande $g(x+0.5)=-g(x)$ . Por lo tanto, a menos que $g(x)$ va a $0+\epsilon\;\forall\; x$ como $x\to \infty$ g(x) pasará la mitad de su tiempo en positivo y la otra mitad en negativo. Se puede escribir a $\text{basechange}S_2(x)$ como el límite de $\text{2sinh}_2^{[-n]}(S_e(x+n))$ que conjeturo que sería la única solución (excepto una constante) para $g(x)$ para ir a $0+\epsilon \; \forall\;x$ como $x\to\infty\;$ . Las ecuaciones de tipo basechange convergen maravillosamente en el eje real, pero no convergen en ningún radio de tamaño en el plano conmplex; por lo que se conjetura el basechange $C_\infty$ no hay nada analítico. Por eso esperaba que el $\text{basechangeS}_2(x) \ne S_2(x)$ ya que sabemos $S_2(z)$ es analítico. Y por lo tanto, no esperaría $g(x)$ para ir a $0+\epsilon\;\forall\;x$ como $x \to \infty$ . Los cálculos coinciden. El primer cruce "cero" corresponde a x=8,92760980698518338019E59, para lo cual $\text{2sinh}^{0.5}_e(x)=\text{2sinh}^{0.5}_2(x).$ Y una vez más, del gráfico siguiente: $$\lim_{x \to \infty} g(x) \ne 0 \;\forall x$$

Este es un gráfico de $g(x)$ con x que oscila entre 3..6, mostrando que el ciclo de trabajo del 50% se hace arbitrariamente grande.

Para el resto de los pasos, suponemos sin ser rigurosos, que si x es lo suficientemente grande entonces $\text{2sinh}_e(x) \approx e^x\;$ y lo mismo para $\text{2sinh}_2(x)=2^x$ y luego $\epsilon$ es insignificante en las ecuaciones siguientes, siempre que $S_e(x-1)$ es lo suficientemente grande. Entonces, siguiendo los mismos pasos que en la respuesta anterior, se puede concluir: $$S^{-1}_2(S_e(x+1)) = S^{-1}_2\left(\frac{S_e(x-1)}{\ln(2)} -\ln(\ln(2)) +\epsilon\right)+2$$

Si x es lo suficientemente grande, entonces $S_e(x-1)$ es lo suficientemente grande como para que el término ln(ln(2)) sea completamente insignificante, y que $\epsilon$ es aún más insignificante.

Continuando como antes, con un poco de álgebra $g(x+1) = g(x)+O\frac{1}{S_e(x-1)}$ donde g(x+1) se aproxima a g(x) a medida que z aumenta. Con un poco de álgebra, también podemos demostrar que $g(x+0.5)=-g(x) + O\frac{1}{S_e(z-1)}\;$ Por lo tanto, si $g(x)=0\;\;g(x+0.5)\;$ también se aproxima a cero a medida que x aumenta.