Intuición para la descomposición de la representación regular

Question

Trabajar sobre $\mathbb{C}$ es bien sabido que si $G$ es un grupo finito y $V$ es su representación regular entonces toda representación irreducible $V_i$ de $G$ se produce como un sumando de $V$ con multiplicidad $\dim V_i$ . Esto se demuestra a menudo utilizando la teoría del carácter, pero me parece que este argumento es un poco poco poco iluminador desde el punto de vista de la comprensión por qué el resultado es verdadero.

Recientemente encontré una prueba más bonita en las notas online de Ed Segal en la que muestra que para cualquier representación $W$ de $G$ existe un isomorfismo natural de los espacios vectoriales

$$ \operatorname{Hom}_G (V, W) \cong W $$

evaluando un homomorfismo en el elemento base de $V$ correspondiente a la identidad en $G$ . Pero esto sigue siendo un poco indirecto, pasando por el teorema de Schur.

No me malinterpretes, creo que ambas pruebas son hermosas piezas matemáticas (y obviamente son esencialmente equivalentes), sin embargo no siento que ninguna de ellas haga que el resultado parezca obvio. Tal vez simplemente no sea posible, dada la dependencia del campo terreno (aunque supongo que la segunda prueba funciona sobre cualquier campo algebraicamente cerrado cuya característica no divide $|G|$ ), pero me gustaría conocer cualquier explicación intuitiva de esta descomposición.

Answer 1

Intuitivamente, para $H$ un subgrupo de $G$ y $\sigma$ una representación de $H$ la representación inducida $Ind_H^G \sigma$ se "construye" a partir de todas las representaciones irreducibles de $G$ que, cuando se restringe a $H$ contienen una copia de $\sigma$ .

Esencialmente, por definición, la representación regular es la representación $Ind_1^G 1$ inducida a partir de la representación trivial del grupo trivial. Así que se espera que cada representación irreducible se produzca en la representación regular.

En cuanto a la multiplicidad, para una representación irreducible $\pi$ de $G$ se puede utilizar la reciprocidad de Frobenius para calcular $$\dim Hom_G(\pi,Ind_1^G 1)=\dim Hom_1(\pi|_1,1)=\dim Hom_1(1^{\oplus \dim \pi},1)=\dim \pi.$$

Answer 2

Supongamos que $V$ es un irreducible $\mathbb{C}G$ -módulo y $v_0\in V$ es distinto de cero. Entonces, con respecto a $\mathbb{C}G$ como módulo regular izquierdo, el mapa $$\mathbb{C}G\to V,\;\;\;g\mapsto g.v_0$$ es un suryecto $\mathbb{C}G$ -homomorfismo de módulo. El núcleo de este mapa es $$\mathrm{Ann}(V)=\{x\in\mathbb{C}G\mid xv=0\mbox{ for all }v\in V\}$$ De ello se desprende que $V\cong \mathbb{C}G/\mathrm{Ann}(V)$ como $\mathbb{C}G$ -módulos.

El aniquilador $\mathrm{Ann}(V)$ es un ideal de la izquierda en $\mathbb{C}G$ y, por lo tanto, es una izquierda $\mathbb{C}G$ -módulo. Pero, sabemos por el Teorema de Maschke que $\mathbb{C}G$ es completamente reducible, por lo que $\mathbb{C}G=X\oplus\mathrm{Ann}(V)$ para algunos $\mathbb{C}G$ -submódulo $X\subset\mathbb{C}G$ . Finalmente, obtenemos $$X\cong \mathbb{C}G/\mathrm{Ann}(V)\cong V$$ como se desee.