Supongamos que $R_2 > R_1 > 0$ y considerar $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ tal que
$$ \Omega:=\left(B_{R_2}(0)\setminus B_{R_1}(0)\right)\setminus L $$ donde $L:= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,x < 0, y = 0\}$ .
¿Es este dominio Lipschitz? Tengo poca experiencia en esta área, pero habiendo mirado la definición de un dominio Lipschitz aquí me parece que no lo es, ya que, por ejemplo, si tomamos $p = (-R',0) \in \partial\Omega$ donde $R' = \frac{R_1+R_2}{2}$ y considerar cualquier posible $C$ (como en la definición dada allí) no podemos satisfacer lo que se dice sobre $\Omega\cap C$ .
Al final me gustaría aplicar la desigualdad de Poincaré-Wirtinger que se define aquí para $p=2$ como $$ \|u-u_{\Omega}\|_{L^2(\Omega)} \leq C \|\nabla u\|_{L^2(\Omega)}, $$ donde $u \in W^{1,2}(\Omega)$ . En la configuración con la que estoy trabajando excluyo específicamente $L$ para que a través de ella la función pueda saltar (lo que la excluiría del espacio si $\Omega$ incluye $L$ ). ¿Estoy en lo cierto al pensar que así se aplica la desigualdad? Mi intuición es que, de hecho, para cualquier $x\in L \cap\left(B_{R_2}(0)\setminus B_{R_1}(0)\right)$ definimos "trazas" desde arriba ( $x^+$ ) y por debajo ( $x^-$ ) como algo así como $$ u(x^\pm) = \lim_{R\to 0^\pm}u(x_1,x_2+R) $$ por lo que, en cierto sentido, se trata de fronteras "separadas" cuando se mira desde arriba y desde abajo. Lamentablemente no tengo casi ningún conocimiento de la Teoría de la Medida y agradecería si alguien pudiera aclarar mis dudas. Gracias.
