El mismo número de factores primos y dígitos decimales.

Question

Un número entero positivo, n, en el que el número de sus cifras decimales (base 10) es igual al número de sus factores primos distintos tiene un límite superior (hay un máximo n).

¿Alguien conoce la prueba de esto?

Pensando en establecer una relación entre el número de dígitos y el número de decimales (y $10^x < n$ ) y demostrar que n tiene un límite superior. He intentado relacionar el hecho de que el número de primos $\leq n$ es $\frac n{\ln n}$ pero no puedo encontrar un buen enlace.

Answer 1

Para cualquier $n$ -número de dígitos $x$ tenemos $x<10^n$ . Sea $p_i$ sea el $i$ - en el primer lugar. Si $x$ tiene $n$ dígitos y $n$ factores primos distintos, tenemos que $$p_1p_2\ldots p_n\leq x< 10^n.$$

Por lo tanto, todo lo que se necesita para terminar la prueba es mostrar que $$p_1p_2\ldots p_n \geq 10^n$$ para todos los enteros positivos, excepto los finitos $n$ . ¿Puedes hacerlo?

Answer 2

¿Qué tal un enfoque diferente?

Para hacerlo más fácil, voy a definir un número como maravilloso si el número de sus dígitos decimales (base 10) es igual al número de sus factores primos distintos.

Entonces,

1. Sea x un número maravilloso con n dígitos.
2. Sabemos que x es maravilloso, por lo que tiene n factores primos distintos.
3. Para maximizar el número de factores primos distintos en x, debemos hacer que x sea la multiplicación de los factores primos más pequeños, en orden creciente (es decir, x = 2*3*5*7*11 ... n primos)
4. Sin embargo, los primos después de 7 tienen al menos 2 dígitos, por lo que multiplicarlos en x hará que x aumente en al menos 1 dígito de longitud.
5. Esto puede continuar hasta después de 100, donde los primos después de 100 harán que x aumente en al menos 2 dígitos de longitud, pero sólo añadirá 1 a la cantidad de factorización prima distinta de x.
6. Claramente, esto es insostenible, y eventualmente el maravilloso número x no puede añadir otra factorización prima única, ya que haría que x ganara más dígitos en longitud que la factorización prima única distinta añadiría al número de factores primos distintos de x.
7. Si x se multiplica por un factor primo no distinto, entonces eventualmente también aumentará su longitud, debido a la naturaleza de la multiplicación, pero no ganará una factorización prima distinta adicional, por lo que x también dejará de ser maravillosa.
8. Llega un momento en que x no puede aumentar más y seguir siendo maravilloso.
9. Por lo tanto, los números maravillosos tienen un límite superior.