potencial electrostático, propiedades analíticas

Question

Un potencial electrostático asociado a alguna carga deslocalizada $\int \rho(\mathbf{r}) d{\mathbf{r}}$ está dada por:

$$v_H(\mathbf{r}) = \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}d\mathbf{r'}$$

Este potencial es finito en $\mathbf{r}=0$ . Desde $\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}$ es una solución de una ecuación de Poisson singular, podemos demostrar que

$$\nabla^2v_H(\mathbf{r})=-4\pi\rho(\mathbf{r})$$ donde $\rho$ es una función suave que es finita en todas partes.

¿Una función

$$v(\mathbf{r}) = \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^n}d\mathbf{r'}$$

(donde $n$ es un número entero no negativo)

sea también finito en $\mathbf{r}=0$ ?

En este caso, $\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^n}$ no representa una solución de la ecuación de Poisson ( $\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3$ ) y el análisis anterior no es válido.

Answer 1

Tal vez demasiado simple, y ciertamente no una solución general, pero de todos modos aquí va.

El caso más sencillo es una distribución de carga esférica:

$$\rho= \left\{ \begin{array}{cc} \rho_0 & r \le a \\ 0 & r>a \end{array} \right. $$ Entonces

$$ V(0) = \rho_0 \int_0^a \frac{4 \pi r^2}{r^n} dr = 4 \pi \rho_0 \int_0^a r^{2-n} dr $$

Casos:

$$ 0<n<3 \qquad V(0) = \frac{4 \pi \rho_0}{3-n} a^{3-n} \text{ , finite}$$

$$ n=3 \qquad V(0) = 4 \pi \rho_0 \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \ln \left(\frac{r}{\epsilon} \right) \rightarrow \infty $$

$$ n>3 \qquad V(0) = \frac{4 \pi \rho_0}{n-3} \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \left(\frac{1}{\epsilon^{n-3}} - \frac{1}{a^{n-3}} \right) \rightarrow \infty $$

En todos estos casos, el denominador de la integral original, $|r-r'|^n$ crece sin límite para grandes $r$ y la carga está localizada alrededor del origen, por lo que

$$ \lim_{r \rightarrow \infty} V(r) =0 $$

Así que, $n=3$ divide los casos finitos de los infinitos. (Técnicamente, supongo que este calc constituye un contraejemplo para $n \ge 3$ mostrando un resultado no limitado para esos casos).