Si un subconjunto compacto está contenido en un subconjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ ¿un pequeño cilindro de este subconjunto compacto también está contenido en el conjunto abierto?

Question

Dejemos que $O\subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto, $K\subseteq \mathbb{R}^{n-1}$ un conjunto compacto y $a\in \mathbb{R}$ , de tal manera que $$\{a\}\times K\subseteq O$$ se mantiene.

¿Existe un $\epsilon>0$ , de tal manera que $$(a-\epsilon,a+\epsilon)\times K\subseteq O$$ ¿es cierto?

Answer 1

Para evitar un excesivo tecleo, supongamos, sin pérdida de generalidad, que $a=0$ . Para cada punto $x\in K$ , arreglar un vecindario $U_x$ de $x$ en $\mathbb R^{n-1}$ y un $\epsilon_x>0$ tal que $(-\epsilon_x,\epsilon_x)\times U_x\subseteq O$ . Tal $U_x$ y $\epsilon_x$ existen porque $O$ está abierto y contiene $(x,0)$ . Por compacidad, un número finito de $U_x$ de la portada $K$ ; dicen que estos son $U_{x_1},\dots,U_{x_n}$ . Sea $\epsilon$ sea el más pequeño de los correspondientes $\epsilon_{x_1},\dots,\epsilon_{x_n}$ . Porque éste es el mínimo de sólo un número finito de números positivos, $\epsilon$ es positivo. Para cada $(t,y)\in (-\epsilon,\epsilon)\times K$ tenemos un $x_i$ tal que $y\in U_{x_i}$ y por lo tanto $(t,y)\in (-\epsilon_{x_i},\epsilon_{x_i})\times U_{x_i}\subseteq O$ .