¿Debe una función continua con un número finito de extremos estrictos en un intervalo cerrado tener una variación acotada? Y Convergencia puntual de las series de Fourier

Question

Sabemos que si $f$ es una función continua en $[a,b]$ y tiene un número finito de máximos y mínimos relativos en $[a,b]$ entonces $f\in \mathrm{BV}([a,b])$ Por ejemplo, véase Demuestre que si $f$ es continua y tiene un número finito de máximos y mínimos en $[a,b]$ entonces $f \in BV([a,b]).$

Si cambiamos la condición "número infinito de máximos y mínimos relativos" por "número finito de máximos y mínimos estrictos", ¿sigue siendo correcta esta conclusión?

La motivación de esta pregunta: En el libro de Stein y Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction, página 128, el autor dice que ``el teorema de Dirichlet establece que la serie de Fourier de una función real continua periódica $f$ que sólo tiene un número finito de máximos y mínimos relativos converge en todas partes a $f$ (y uniformemente)''. Pero el ámbito de aplicación de este teorema es muy estrecho, como la función de onda cuadrada no pertenece al ámbito de aplicación de este teorema.

También sabemos que (Teorema de Dirichlet-Jordan): Dejemos que $f$ sea un periodo $2\pi$ función de variación acotada en $[-\pi,\pi]$ . Entonces la serie de Fourier de $f$ converge a $\dfrac{f(x^+) + f(x^)}{2}$ por cada $x\in[-\pi,\pi]$ .

Así que mi pregunta es, Si cambiamos la condición ``número infinito de máximos y mínimos relativos'' por ``número finito de máximos y mínimos estrictos'', ¿es correcto que la serie de Fourier de $f$ también converge a $\dfrac{f(x^+) + f(x^)}{2}$ . Si esto no es cierto, ¿alguien puede dar un contraejemplo?

Answer 1

Dejemos que $[a,b]=[0,1]$ y $$ f(x)=\begin{cases}0&x=0\\ \min\left\{\frac1{\left\lceil \frac1{2\pi x}\right\rceil},\max\{0,-\sin\frac1x\}\right\}&x>0\end{cases}$$ Esto es continuo principalmente porque $\frac1{\left\lceil \frac1{2\pi x}\right\rceil}$ salta sólo cuando $\frac1x$ es un múltiplo de $2\pi$ en la vecindad de la cual $f$ es constante $0$ . Por otro lado, en la vecindad de cuando $\frac1x=(2n+1)\pi$ , $f$ es constante $=\frac1n$ . Esto nos permite hacer uso de la serie armónica para ver que $f$ no es de variación acotada. Por otra parte, debido a las mesetas, ninguno de los extremos es estricto.