Determinación de un vector desconocido a partir de su producto cruzado y puntual con un vector conocido

Question

Dejemos que $\vec{k}$ , $\vec{v}$ y $\vec{u}$ sean vectores, donde $\vec{u}$ es desconocido y $\vec{k}$ y $\vec{v}$ son vectores conocidos. Dada:

1. $\vec{u}\cdot\vec{k}=c$
2. $\vec{u} \times \vec{k}= \vec{v}$

A partir de estas relaciones, ¿cómo puedo determinar el vector $u$ ? He intentado construir un sistema de coordenadas ortogonal a partir de $(\vec{k}, \vec{v},\vec{k}\times \vec{v})$ pero no pude continuar desde allí. ¿Alguna idea?

Answer 1

Desde

$$ \vec k\times(\vec u\times\vec k)=\vec u(\vec k\cdot\vec k)-\vec k(\vec k\cdot\vec u) $$

se obtiene

$$ \vec u=\frac{\vec k\times(\vec u\times\vec k)+\vec k(\vec k\cdot\vec u)}{\vec k\cdot\vec k}=\frac{\vec k\times\vec v+c\vec k}{\vec k\cdot\vec k}\;. $$

(Por supuesto, necesita $\vec k\ne\vec0$ .)

Answer 2

En el álgebra geométrica se puede dividir por vectores no nulos. Así que para calcular $u$ dado $uk = u\cdot k + u\wedge k$ , donde en 3D $u\wedge k = (u\times k)I$ , sólo hay que multiplicar a la derecha por $k^{-1} = k/k^2$ . Esto da $$u = ukk^{-1}= \frac{(u\cdot k)k + (u\wedge k)k}{k^2} = \frac{(u\cdot k)k-(u\times k)\times k}{k^2}$$ donde también utilicé $(AI)\cdot v = (A\wedge v)I$ , $I^{-1} = -I$ , $v\wedge v = 0$ y $(a\wedge b)c = (a\wedge b)\cdot c + a\wedge b\wedge c$ .

Si ser capaz de dividir por vectores te parece algo útil, deberías mirar el álgebra geométrica. (En realidad, deberías mirar el álgebra geométrica a pesar de todo. Ten en cuenta que, aparte de la traslación al producto cruzado, todo lo anterior puede hacerse en cualquier dimensión, aunque el signo de $I^{-1}$ varía con la dimensión).

Answer 3

Puedes llegar a la misma respuesta que joriki más en tu línea de pensamiento original. Para ello utilizaremos un nuevo sistema de coordenadas ortogonales incrustando $\vec{u}$ en el plano formado por $\vec{k}$ y $\vec{k} \times \vec{v}$ .

Primero para encontrar el $\vec{k}$ tomar la proyección de $\vec{u}$ en $\vec{k}$ .

\begin{equation} \text{proj}_\vec{k}(\vec{u}) % = \frac{\vec{k} \cdot \vec{u}}{\left|\vec{k}\right|^2}\:\vec{k} % = \frac{c\vec{k}}{\left|\vec{k}\right|^2} \end{equation}

Ahora encontraremos el $\vec{k} \times \vec{v}$ componente. $\vec{u} \times \dfrac{\vec{k}}{\left|\vec{k}\right|}$ tendrá la magnitud del vector deseado, pero estará en el $\vec{v}$ dirección. Ya que al cruzar cualquier cosa en el $\vec{k}$ dirección con cualquier cosa en el $\vec{v}$ dirección será naturalmente en el $\vec{k} \times \vec{v}$ dirección, cruzaremos previamente nuestra expresión con un vector unitario (para no alterar la magnitud) en el $\vec{k}$ dirección.

\begin{equation} \text{proj}_{\vec{k} \times \vec{v}}(\vec{u}) % = \frac{\vec{k}}{\left|\vec{k}\right|} \times \left(\vec{u} \times \frac{\vec{k}}{\left|\vec{k}\right|}\right) % = \frac{\vec{k}\times \vec{v}}{\left|\vec{k}\right|^2} \end{equation}

La solución final es sólo cuestión de sumar estos dos componentes, \begin{equation} \vec{u} = \frac{\vec{k}\times \vec{v} + c\vec{k}}{\left|\vec{k}\right|^2} \end{equation}

La elección de utilizar $\:\vec{k}\cdot\vec{k}$ o $\:\left|\vec{k}\right|^2$ depende en gran medida de la configuración y la aplicación, ya que ambas son iguales.