Notación nCatLab

Question

En este n la página de CatLab sobre la estructura del Modelo Reedy, se utiliza una notación que no entiendo (y parece que no se explica allí).

Supongamos que tenemos un diagrama de Reedy, cuyos objetos $X_r$ están indexados por la categoría subyacente de Reedy. Según la definición del objeto de enclavamiento para un objeto $X_r$ en este diagrama, tenemos:

$L_r X = \text{colim}_{s \overset{+}{\to} r} X_s$ .

Puedo suponer, basándome en ejemplos que he visto en varios lugares, lo que podría significar, pero preferiría una definición precisa.

Creo que esto significa que el objeto de enganche para $X_r$ se define el colímite del diagrama que obtenemos tomando todos los objetos y mapas que entran en $X$ que aumentan el grado.

Sin embargo, se trata de una conjetura, e incluso si es correcta, me gustaría conocer el significado exacto de la notación anterior.

Answer 1

Sí, tu suposición es básicamente correcta. La idea fundamental es que dados dos funtores $X,Y \colon I \rightarrow \mathcal{C}$ de una pequeña categoría $I$ queremos encontrar recursivamente una transformación $\alpha \colon X \rightarrow Y$ , entonces para hacer el paso recursivo tenemos que producir un morfismo $\alpha_i \colon X_i \rightarrow Y_i$ que debe ser compatible con los otros mapas $\alpha_j$ para los valores $j$ "que viene antes" $i$ (esto viene antes en la categoría general $I$ se especifica en la estructura Reedy). Entonces este $\alpha_i$ debe encajar en un diagrama $\require{AMScd}$ \begin{CD} L_iX @>{}>> X_i;\\ @VVV @VV{?}V \\ L_iY @>{}>> Y_i \end{CD} donde a la izquierda el objeto de enganche $L_iX$ es un objeto en $\mathcal{C}$ que une el $X_j$ s para $"j<i"$ de manera que se mantengan las condiciones de coherencia de los mapas $X_j \rightarrow X_{k}$ que proviene de la funtorialidad de $X$ . Entonces los mapas $\alpha_j$ que tiene por suposición recursiva dar lugar al mapa $L_iX \rightarrow L_iY$ .

Por analogía con los complejos de CW: Si $X$ es un $CW$ -complejo que se te ocurra $I$ con su estructura Reedy como una ordenación adecuada de las celdas que respeta las dimensiones, entonces $L_iX$ es el subcomplejo que se obtiene al unir las celdas antes del $i$ -a la primera. Y el asunto de encontrar $\alpha$ es sólo una cuestión de extender los mapas definidos en las celdas singulares a un mapa celular.

Dado que conoces las estructuras de los modelos, creo que puedes imaginar por qué querrías encontrar esas transfomaciones $\alpha$ El modus operandi de las categorías de modelos gira en torno a la producción de ascensores que encajan en diagramas cuadrados apropiados.

Como extra: aquí algunas notas de Dugger en las que una de las secciones que discutió sobre la estructura del modelo Reedy, ver página 56. https://pages.uoregon.edu/ddugger/hocolim.pdf Seguramente no es la discusión más completa sobre este argumento, pero creo que es realmente accesible e intuitiva.