Creando intuición sobre las transformadas de Laplace y Fourier

Question

He estado leyendo un poco sobre la teoría de los sistemas de control, y necesitaba repasar un poco mis transformadas de Laplace. Sé cómo transformar e invertir la transformada para casi cualquier función razonable, no tengo ningún problema técnico con eso. Mi único problema es que algunas cosas teóricas no son del todo intuitivas.

Esto es lo que entiendo actualmente de la transformada de Fourier: Tenemos una función, miembro de un espacio dimensional infinito, y queremos descomponerla en términos de funciones base $e^{j\omega t}$ . Para ello, proyectamos (de forma análoga a la toma del producto punto) nuestra función sobre las funciones base, utilizando la siguiente definición de producto interno para el espacio de funciones: $\langle f, g\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cdot g^*(t)dt$ que da lugar a la transformada de Fourier: $F(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\ e^{-j\omega t}\,dt$ . Si se reconstruye la función original a partir de los coeficientes de las funciones base, se obtiene $f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(j\omega)\ e^{j\omega t}\,d\omega$

Ahora, mirando la definición de la transformada de Laplace, parece que está tratando de hacer lo mismo usando sinusoides subamortiguadas/sobreamortiguadas de la forma $e^{\sigma t}e^{j\omega t}$ en lugar de sinusoides puros como el FT. Esto permite representar funciones que no desaparecen en el infinito, sino que pueden divergir exponencialmente. Sin embargo, no encaja del todo en el marco que he establecido anteriormente. En primer lugar, la integral de inversión me confunde. $\mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}(t) = f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}\,ds$ . ¿Por qué soy libre de hacer la integración para cualquier valor de , siempre que sea mayor que la parte real del polo derecho? Si introduzco $s = \sigma + j \omega, ds = j d\omega$ Puedo tirar de $e^{\sigma t}$ de la integral, para obtener $\mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}(t) = f(t) = \frac{e^{\sigma t}}{2\pi}\int_{\infty}^{+\infty}F(\sigma+j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$ . Me parece extraño que el $e^{\sigma t}$ tiene que ser compensado exactamente por el hecho de que la transformación se evalúa más a la derecha o a la izquierda. Además, cuando se analizan sistemas mediante la transformada de Laplace, lo que más nos interesa es la ubicación de sus ceros y polos. Intuitivamente, esperaría que, dado que la función "explota" en los polos, habría grandes contribuciones de esas amplitudes en la integral de inversión si pasara cerca de los polos. Sin embargo, si puede pasar arbitrariamente lejos de los polos, no tiene tanto sentido...

Lo siento si no me estoy explicando tan bien como quería, pero esto no es realmente tan fácil de expresar...

Saludos

Answer 1

La transformada de Laplace está diseñada para tratar problemas causales en los que se proporciona alguna entrada a un sistema lineal en $t=0$ y el sistema proporciona una respuesta para $t \gt 0$ . No hay respuesta para $t \lt 0$ ya que el fenómeno que se modela es causal. Así, al invertir la transformada de Laplace, ajustamos la parte real de la recta a lo largo de la cual integramos como expresión de esta causalidad.

Pero, ¿por qué a la derecha del polo derecho? Considere una LT $F(s)$ que tiene polos aislados en el plano complejo y ninguna otra singularidad. Podemos calcular la ILT utilizando el Teorema del Residuo cerrando a la izquierda o a la derecha. Si cerramos a la izquierda, entonces la integral de contorno

$$\oint_C dz F(z) e^{z t} = \int_{\sigma-i R}^{\sigma+i R} ds F(s) e^{s t} + i R \int_{\pi/2}^{3 \pi/2} d\theta \, e^{i \theta} F \left ( R e^{i \theta} \right ) e^{R t \cos{\theta}} e^{i R t \sin{\theta}} $$

(NB hay un par de segmentos de $\sigma \pm iR$ al círculo $z=R e^{i \theta}$ pero se puede demostrar fácilmente que la integral sobre estos segmentos desaparece como $R \to \infty$ .)

Queremos que la segunda integral desaparezca como $R \to \infty$ por lo que podemos expresar la ILT en términos de los residuos de los polos de $F$ . Obsérvese que, cuando nos acercamos a la izquierda, $\cos{\theta} \lt 0$ por lo que la segunda integral puede desaparecer sólo cuando $t \gt 0$ . ( $F$ también debe cumplir ciertas condiciones como $R \to \infty$ pero $t$ debe ser mayor que cero en cualquier caso).

Tenga en cuenta que cuando $t \lt 0$ , podemos no cerrar el contorno a la izquierda. Más bien, debemos cerrar hacia la derecha para poder utilizar el Teorema del Residuo. Sobre ese semicírculo, $\cos{\theta} \gt 0$ por lo que la segunda integral desaparece sólo cuando $t \lt 0$ .

Por lo tanto, para capturar la causalidad, movemos la línea sobre la que definimos la integral para la ILT de tal manera que todos los polos están a la a la izquierda de la línea; de esta manera $f(t) =0$ cuando $t \lt 0$ como era de esperar.