Desde el punto de vista de la lógica categorial, ¿cómo debería la noción de un $R$ -¿se define el módulo?

Question

Editar. Lo que realmente quiero es ver una topología $R$ -como un modelo de alguna teoría $T$ (dependiente del anillo topológico $R$ ) en $\mathrm{Top}.$ ¿Se puede hacer esto?

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Pregunta original. Desde el punto de vista de la lógica categorial, ¿cómo debería la noción de un $R$ -¿se define el módulo?

Por lo que veo, hay básicamente dos enfoques, ambos defectuosos.

Hay un enfoque de dos tipos. Tienes la teoría de los módulos con dos ordenaciones, una denotada $R$ para el anillo de escalares, y el otro denotado $V$ para el grupo abeliano de vectores. Esto funciona muy bien, porque los modelos de nuestra teoría en $\mathrm{Top}$ son precisamente los módulos topológicos que conocemos y amamos. Sin embargo, hay un problema: terminamos con una gran categoría de módulos topológicos, en lugar de una categoría diferente de módulos topológicos $R$ -para cada anillo topológico $R.$ Además, los homomorfismos entre módulos no son los habituales $R$ -homomorfismos de módulos, por razones obvias.

También existe el enfoque de clasificación simple. En lugar de tener una ordenación para los escalares, simplemente se fija un anillo $R$ y para cada $r \in R$ tienen un símbolo de función $r' : V \rightarrow V$ que representa la multiplicación escalar por $r$ . Sin embargo, ahora los modelos de nuestra teoría en $\mathrm{Top}$ no siempre son topológicos $R$ -porque cualquier estructura topológica que $R$ puede tener es simplemente ser ignorado.

Por lo tanto, ¿cómo debería la topología $R$ -¿se definen los módulos? Para reiterar, me gustaría ser capaz de ver una topología $R$ -como un simple modelo de alguna teoría $T$ (depende de $R$ ) en $\mathrm{Top}.$ ¿Se puede hacer esto?

Answer 1

Dejemos que $C$ sea una categoría con productos. Nótese que tenemos las nociones de objetos anulares y objetos de grupos abelianos interno a $C$ . Estos pueden ser fácilmente fusionados con la noción de un objeto de módulo: Si $R$ es un objeto anular y $M$ es un objeto de grupo abeliano, entonces una acción de $R$ en $M$ es un morfismo $R \times M \to M$ lo que hace que los cuatro diagramas obvios conmuten (que corresponden a $1m=m$ , $(rs)m=r(sm)$ , $r(m+n)=rm+rn$ , $(r+s)m=rm+sm$ ). Entonces llamamos $M$ un $R$ -módulo. Para $C=\mathsf{Set}$ esta es la noción habitual, pues $C=\mathsf{Top}$ obtenemos la topológica $R$ -para un anillo topológico $R$ .

Answer 2

Una noción directa de la teoría algebraica enriquecida es la de un operad . Fijar una categoría monoidal $\mathcal{V}$ . A (no simétrico, monocromático) $\mathcal{V}$ -operad $\mathbb{T}$ consta de los siguientes datos:

• Para cada número natural $n$ , un objeto $\mathbb{T}(n)$ en $\mathcal{V}$ que pensamos que es el espacio de $n$ -Operaciones de $\mathbb{T}$ .
• Para cada partición $n = m_0 + \cdots + m_{k-1}$ , un morfismo $$\mathbb{T} (k) \otimes \mathbb{T} (m_0) \otimes \cdots \otimes \mathbb{T} (m_{k-1}) \to \mathbb{T} (n)$$ que satisface una ley de asociatividad generalizada, que consideramos como el resultado de componer un $k$ -ario con una operación de $k$ -tupla de otras operaciones.

A (izquierda) $\mathbb{T}$ -álgebra en $\mathcal{V}$ es un objeto $A$ equipado con los siguientes datos:

• Para cada número natural $n$ , un morfismo $\mathbb{T} (n) \otimes A^{\otimes n} \to A$ que pensamos que es el resultado de aplicar un $n$ -ario a una operación de $n$ -tupla de elementos de $A$ .

Por ejemplo, dado un monoide $T$ en $\mathcal{V}$ podemos definir un $\mathcal{V}$ -operad $\mathbb{T}$ de la siguiente manera:

• $\mathbb{T} (0) = I$ la unidad de la categoría monoidal $\mathcal{V}$ .
• $\mathbb{T} (1) = T$ .
• La composición $\mathbb{T} (1) \otimes \mathbb{T} (1) \to \mathbb{T} (1)$ es la operación monoide de $T$ y todas las demás composiciones son forzadas por los axiomas.

Entonces un $\mathbb{T}$ -es precisamente una $T$ -en el sentido habitual. Para aplicar esto a los módulos topológicos sobre un anillo topológico, se quiere tomar $\mathcal{V}$ para ser una categoría de grupos abelianos topológicos con un producto tensorial topológico adecuado, pero no estoy familiarizado con los detalles.