Contabilidad de clases arbitrarias $\mathcal{A}$ de subconjuntos de $\Omega$ y las particiones de $\Omega$ inducido por $\mathcal{A}$

Question

Particiones de $\Omega$

Denota una partición de $\Omega$ para ser $\Omega_{\tau}$ que satisface $\Omega=\cup_{\beta} B_{\beta}$ para $B_{\beta}\in\Omega_{\tau}$ y $B_{\beta}\cap B_{\beta'}=\emptyset$ para todos $\beta\not=\beta'$ donde uso el $\beta$ para denotar el conjunto de índices $\beta\in I_{\beta}$ es posiblemente incontable. También asumo que $\Omega$ podría ser infinito en el sentido de que contiene incontables elementos $\omega\in\Omega$

Editar : Para dar un ejemplo, para $\Omega=[0,1]$ , $\Omega_{\tau}=\{[0,1/2),[1/2,1]\}$ y $\Omega_{\tau}=\{[0,1/10),[1/10,2/10),[2/10,1]\}$ serían particiones finitas, $\Omega_{\tau}=\{\{x\}:x\in[0,1]\}$ sería una partición incontable (la más fina posible), y para $\Omega=[1,\infty)$ , $\Omega_{\tau}=\{[a_{i},a_{i}+1):a_{i}\in\mathbb{N}\}$ sería una partición contable

Una clase arbitraria $\mathcal{A}$ de subconjuntos de $\Omega$

I denota una colección de subconjuntos de $\Omega$ como $\mathcal{A}$ para que $A\subseteq\Omega$ para todos $A\in\mathcal{A}$ . La clase $\mathcal{A}$ podría contener un número incontable de conjuntos, cada uno de los cuales podría tener un tamaño posiblemente infinito. Se supone que esta clase no tiene ninguna estructura -por ejemplo, no se supone que sea un anillo, un semianillo, un campo o $\sigma$ -campo

Editar : A $\sigma$ -campo $\mathscr{F}$ en $\Omega$ satisface i) $\Omega\in\mathscr{F}$ ii) $F\in\mathscr{F}$ implica $F^{c}\in\mathscr{F}$ iii) $F_{1},F_{2},...\in\mathscr{F}$ implica $\cup_{i}F_{i}\in\mathscr{F}$ y esto implica (iv) $F_{1},F_{2},...\in\mathscr{F}$ implica $\cap_{i}F_{i}\in\mathscr{F}$ y v) $\emptyset\in\mathscr{F}$ . La notación $\mathscr{F}=\sigma(\mathcal{A})$ significa $\mathscr{F}$ se forma a partir de la intersección de todos los $\sigma$ -campos que contienen $\mathcal{A}$ y así $\mathscr{F}$ es el más pequeño $\sigma$ -campo en $\Omega$ que contiene $\mathcal{A}$

Particiones de $\Omega$ inducido por $\mathcal{A}$

Denota $\mathcal{A}_{\tau}$ para ser la partición de $\Omega$ inducido por la siguiente relación de equivalencia donde $1_{A}(\omega)=1$ si $\omega\in A$ y $0$ si no

$\forall \omega,\omega'\in\Omega:\hspace{10pt}\omega\sim_{\mathcal{A}}\omega'\Longleftrightarrow 1_{A_{\alpha}}(\omega)=1_{A_{\alpha}}(\omega')\hspace{10pt}\forall A_{\alpha}\in\mathcal{A}$

Editar (corrección de la definición) : La clase de equivalencia de cualquier $\omega\in\Omega$ se denominará $[\omega]_{\mathcal{A}}$ y viene dada explícitamente por

$[\omega]_{\mathcal{A}}:=\bigcap\{A:\omega\in A\in\mathcal{A}\}\cap\bigcap\{\Omega\backslash A:\omega\not\in A\in\mathcal{A}\}$

Pregunta sobre la relación entre $\Omega_{\tau}$ , $\mathcal{A}$ y $\mathcal{A_{\tau}}$

Me encontré gravitando naturalmente hacia asumir $\Omega_{\tau}$ y $\mathcal{A}$ ambos contenían un número contable de conjuntos (lo que implica $\mathcal{A_{\tau}}$ contiene un número contable de conjuntos) y tratando de demostrar lo siguiente, que parecía intuitivamente obvio;

$\mathcal{A}_{\tau}=\Omega_{\tau}\Longleftrightarrow \mathcal{A}=\Omega_{\tau}$

Editar : $\mathcal{A}_{\tau}=\Omega_{\tau}$ significa igualdad de conjuntos: para cada $A_{\tau}\in\mathcal{A}_{\tau}$ tenemos $A_{\tau}\in \Omega_{\tau}$ y para cada $B\in \Omega_{\tau}$ tenemos $B\in A_{\tau}$ . Por ejemplo, si $\mathcal{A}=\{A_{1},A_{2}\}$ para $A_{1}\subset\Omega$ , $A_{2}\subset\Omega$ , $A_{1}\cap A_{2}\not=\emptyset$ entonces $\mathcal{A}_{\tau}=\{A_{1}\backslash A_{2},A_{2}\backslash A_{1},A_{1}\cap A_{2},\Omega\backslash\{A_{1}\cup A_{2}\}\}$ para que $\mathcal{A}\not\subset\mathcal{A}_{\tau}$ . Sin embargo, si $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$ entonces $\mathcal{A}_{\tau}=\{A_{1},A_{2},\Omega\backslash\{A_{1}\cup A_{2}\}\}$ para que $\mathcal{A}\subset\mathcal{A}_{\tau}$

Estoy casi convencido de ello y de momento ahorro a los lectores la prueba ya que aún no estoy convencido de tener el enfoque correcto. De hecho, esta es mi primera pregunta: ¿parece correcta la afirmación anterior? En particular, ¿es la contablidad de ambos $\Omega_{\tau}$ y $\mathcal{A}$ para este resultado o basta con uno u otro? Todavía tengo que intentar construir contraejemplos que puedan surgir debido a la incontabilidad en cualquiera de los dos $\Omega_{\tau}$ o $\mathcal{A}$ ya que mi comprensión del infinito incontable es muy pobre. Por lo tanto, cualquier comentario o idea se agradecerá.

Finalmente, mi interés es llevar este resultado más allá en alguna teoría de la medida para la probabilidad. En este sentido, si $\mathscr{F}$ es un $\sigma$ -campo generado por $\mathcal{A}$ Es decir $\mathscr{F}=\sigma(\mathcal{A})$ entonces estoy más seguro de que la incontabilidad es un problema real aquí. Esto se debe a la estructura de $[\omega]_{\mathcal{A}}=\bigcap\{A:\omega\in A\in\mathcal{A}\}\cap\bigcap\{\Omega\backslash A:\omega\not\in A\in\mathcal{A}\}$ al ser una intersección posiblemente incontable de $\mathcal{A}$ -sets, no se garantiza que esté contenido en $\mathscr{F}$ ? Esto significa que si deseo trabajar con ambos $\mathscr{F}_{\tau}$ y $\mathcal{A}_{\tau}$ y hacer afirmaciones como $[\omega]_{\mathcal{A}}\in\mathscr{F}$ ¿Tengo problemas?

De nuevo, cualquier comentario o idea es bienvenida.

Answer 1

Parece que a veces su notación es demasiado complicada. Así que he intentado simplificarla en mi respuesta para que sea más estándar.

Una partición de un conjunto $\Omega$ es su cobertura por sus subconjuntos no vacíos mutuamente disjuntos. Una familia $\mathcal A$ de subconjuntos de $\Omega$ genera la partición $\mathcal A_\tau$ como usted lo describió.

$\mathcal{A}_{\tau}=\Omega_{\tau}\Longleftrightarrow \mathcal{A}=\Omega_{\tau}$

$\mathcal A$ no siempre es una partición de $\Omega$ pero $\mathcal A_\tau$ siempre lo es, por lo que se puede denotar como $\Omega_{\tau}$ . Por lo tanto, la implicación $\Rightarrow$ no debería sostenerse en general. Por otro lado, es fácil ver que $\mathcal{A}_\tau=\mathcal{A}$ si y sólo si $\mathcal{A}$ es una partición de $\Omega$ y probablemente se refería a este hecho.

Supongo que su definición de $\sigma$ -significa que está cerrado con respecto a contable sindicatos e intersecciones. Así, si $\mathcal A$ es contable entonces $\mathcal{A}_\tau \subset\sigma(\mathcal{A})$ . Pero, en general, como has adivinado, esta inclusión no se cumple. Por ejemplo, dejemos que $\Omega$ sea cualquier conjunto incontable. Fijar cualquier elemento $\omega\in \Omega$ y que $\mathcal A$ consiste en todos los subconjuntos $A\ni\omega$ de $\Omega$ tal que $\Omega\setminus A$ es contable. Es fácil comprobar que $\sigma\mathcal(A)$ consiste en todos los subconjuntos $A$ de $\Omega $ de manera que $A\not\ni\omega$ y $A$ es contable o $A\ni\omega$ y $\Omega\setminus A$ es contable. Entonces

$$[\omega]_{\mathcal{A}}:=\bigcap\{A:\omega\in A\in\mathcal{A}\}\cap\bigcap\{\Omega\backslash A:\omega\not\in A\in\mathcal{A}\}= \{\omega\}\in \mathcal A_\tau\setminus\sigma(\mathcal A).$$