Divisibilidad de los cuartos por siete

Question

Por lo demás, soy muy bueno en matemáticas, pero hace poco me encontré con un problema que no puedo resolver. ¿Tienes alguna idea de cómo resolverlo?

Si $a^2 + b^2 + c^2$ es divisible por 7, demuestre que $a^4 + b^4 + c^4$ también es divisible por 7.

Gracias.

Answer 1

Módulo $7$ Los cuadrados son congruentes con $0$ , $1$ , $2$ o $4$ . La única manera de que un trío de estos puede sumar a cero módulo $7$ es que todos ellos sean $0$ o para ellos sean alguna permutación de $1$ , $2$ y $4$ . En este último caso, $a^4+b^4+c^4 \equiv 1^2+2^2+4^2\pmod 7$ .