Si se trata de una sola ecuación cuadrática $x^2-xy+y^2=a^2$ podemos obtener algunas soluciones integrales como las siguientes. \begin{align*} &\left\{ \begin{split} x&=k(2mn-n^2)\\ y&=k(m^2-n^2)\\ a&=k(m^2-mn+n^2)\\ \end{split} \N - derecho. &\quad \N - Izquierda \begin{split} x&=k(m^2-2mn)\\ y&=k(2mn-n^2)\\ a&=k(m^2-mn+n^2)\\ \end{split} \derecho.| \\ &qquadqquaddownarrow p=m-n&p=m-ndownarrow\qquad\qquad\qquad \\ &\a la izquierda&\a la izquierda \begin{split} x&=k(2np+n^2)\\ y&=k(2np+p^2)\\ a&=k(p^2+np+n^2)\\ \end{split} \N - derecho. &\quad \N - Izquierda \begin{split} x&=k(p^2-n^2)\\ y&=k(2np+n^2)\\ a&=k(p^2+np+n^2)\\ \end{split} \derecha. \fin{spanish}
Sin embargo, no estoy seguro de que estas sean las soluciones completas de la ecuación diofantina $x^2-xy+y^2=a^2$ .
Pero, ¿cómo resolver este sistema de ecuaciones diofantinas en números enteros? \begin{align*} \left\{ \begin{split} \large{x^2-xy+y^2}&\large{=a^2}\\ \large{y^2-yz+z^2}&\large{=b^2}\\ \large{x^2-xz+z^2}&\large{=c^2}\\ \end{split} \derecho. \Fin Tengo algunos ejemplos no triviales:
$ \begin{align*} \left\{ \begin{split} x&=\phantom{0}7\\ y&=15\\ z&=40\\ a&=13\\ b&=35\\ c&=37 \end{split}\right. \end{align*}$ , $\begin{align*} \left\{ \begin{split} x&=\phantom{0}21\\ y&=\phantom{0}56\\ z&=120\\ a&=\phantom{0}49\\ b&=104\\ c&=111 \end{split}\right. \end{align*}$ , $\begin{align*} \left\{ \begin{split} x&=\phantom{0}77\\ y&=117\\ z&=165\\ a&=103\\ b&=147\\ c&=143 \end{split}\right. \end{align*}$ .
