¿Por qué es $\mathbb{R}$ ¿a veces un conjunto abierto y otras veces un conjunto cerrado?

Question

Estoy tomando un curso de Cálculo Avanzado como estudiante de pregrado, y en mi libro de texto Understanding Analysis de Stephen Abbott, tengo esta definición:

$\textbf{Example 3.2.2.}$ (i) Quizá el ejemplo más sencillo de conjunto abierto sea $\mathbb{R}$ mismo. Dado un elemento arbitrario $a\in\mathbb{R}$ somos libres de elegir cualquier $\epsilon$ -Vecindario que nos gusta y siempre será cierto que $V_{\epsilon}(a)\subseteq\mathbb{R}$ .

Sin embargo, leyendo el intercambio de pilas aquí, tratando de entender las preguntas de mi tarea sobre conjuntos abiertos y cerrados, puntos límite, cierres y conjuntos compactos, veo conflictos con esta definición. De hecho, incluso aquí en Wolfram Alpha dicen sobre los intervalos cerrados que

Si uno de los puntos finales es $\pm\infty$ entonces el intervalo sigue conteniendo todos sus puntos límite (aunque no todos sus puntos finales), por lo que $[a,\infty)$ y $(-\infty,b]$ son también intervalos cerrados, al igual que el intervalo $(-\infty,\infty)$ .

Así que, aquí estoy viendo que $\mathbb{R}$ es tanto abierta como cerrada. ¿A qué se debe esto? Probablemente debería guiarme por mi libro de texto de cualquier manera, pero me gustaría entender por qué estoy viendo diferentes definiciones.

Además, con un ejemplo ligeramente relacionado, tomemos el intervalo abierto $(0,1)$ . Su complemento está cerrado. Pero con este complemento cerrado, ¿por qué $\mathbb{R}$ ¿está abierto? ¿Qué hace que el conjunto de los números reales sea diferente a este subconjunto?

Answer 1

$\Bbb R$ es clopen, en sí mismo, significa abierto y cerrado.

Es un malentendido común cuando uno aprende por primera vez sobre topología pensar que un conjunto que no es abierto, es cerrado, y viceversa. Esto no es así, y dado un conjunto $X$ se puede definir una topología en $X$ . Pero la definición de una topología requiere que tanto $\emptyset$ y $X$ están abiertos. Por supuesto, el complemento de un conjunto abierto es cerrado, y por lo tanto ambos $\emptyset$ y $X$ están cerradas.

Answer 2

Una de las cosas que más molesta a los novatos cuando aprenden topología por primera vez es el hecho de que "abierto" y "cerrado" no son conceptos opuestos. Un conjunto puede ser abierto y cerrado al mismo tiempo ("clopen" si se quiere), y generalmente hay conjuntos que son ni abierto ni cerrado. En cualquier espacio topológico, se garantiza la existencia de al menos dos conjuntos cerrados: el conjunto vacío y el espacio entero.

Más concretamente, una topología $\tau$ en $X$ es una colección de subconjuntos de $X$ que tiene las tres propiedades siguientes:

1. $\emptyset, X \in \tau$ ,
2. Si $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ es cualquier subconjunto de $\tau$ entonces $\bigcup_{\alpha\in A} U_{\alpha} \in \tau$ (es decir, una topología es cerrada bajo uniones arbitrarias), y
3. Si $\{V_n\}_{n=1}^{N}$ es un subconjunto de $\tau$ con un número finito de elementos, entonces $\bigcap_{n=1}^{N} V_n \in \tau$ (es decir, una topología es cerrada bajo intersecciones finitas).

Los conjuntos en $\tau$ se definen como los conjuntos abiertos, y el complemento de cualquier conjunto abierto se define como un conjunto cerrado. Obsérvese que ambos $\emptyset$ y $X$ están en $\tau$ así que ambos deben estar abiertos. Por otro lado, el complemento de $\emptyset$ es $X$ y el complemento de $X$ es $\emptyset$ , por lo que ambos conjuntos están cerrados, también.

Por último, si consideramos $\mathbb{R}$ con la topología "habitual", nótese que debe ser tanto abierta como cerrada. Además, hay subconjuntos de $\mathbb{R}$ que no son ni abiertos ni cerrados: considere los intervalos de la forma $(a,b]$ por ejemplo.

Hay un documental instructivo sobre este fenómeno, que se puede encontrar en Youtube (de acuerdo, no es realmente un documental, pero aún así vale la pena verlo, ya que creo que el humor a veces puede ayudar a solidificar un concepto).