Problema de Hungerford (Álgebra Abstracta) (Capítulo 1 Sección 1)

Question

La pregunta:

Dejemos que $a,b,c,$ y $q$ sea como en el ejercicio 5. Supongamos que cuando $q$ se divide por $c$ el cociente es $k$ . Demostrar que cuando $a$ se divide por $bc$ el cociente es también $k$ .

Ejercicio 5 Pregunta:

Dejemos que $a$ sea un número entero cualquiera y que $b$ y $c$ sean enteros positivos. Supongamos que cuando $a$ se divide por $b$ el cociente es $q$ y el resto es $r$ , de tal manera que
$$a = bq + r \text{ and } 0 \leq r < b.$$ Si $ac$ se divide por $bc$ el cociente es $q$ y el resto es $rc$ .

Lo que he hecho hasta ahora:
Dejemos que $a=bq+r, 0 \leq r < b$ y $q=ck+z, 0 \leq z < c$ , donde $a,b,c,q,k,z$ son números enteros. Entonces se deduce que:
$$a = bq + r \implies a = b(ck+z)+r \implies a = bck + bz + r, 0 \leq bz+r < bc.$$ Lo que me atasca es cómo demostrar que la última desigualdad es cierta. He intentado manipular las desigualdades dadas:
$$ 0 \leq r < b, 0 \leq z < c \implies 0 \leq rc+bz < bc \implies 0 \leq bz + r < bz + rc < 2bc $$ $$ 0 \leq bz + r < 2bc $$ Creo que esto es inútil. ¿Alguien puede darme consejos sobre cómo proceder?

Answer 1

$$ 0\le bz+r \le b(c-1)+(b-1)=bc-1 < bc. $$

Answer 2

Sé que llego súper tarde lo siento. pero el problema sólo quiere que muestres k. así que pon r = a cero y ya está. no necesitas z. cuando sustituyas obtendrás 2r, entonces pon are a cero.