Demuestre que el espacio $C([a,b])$ equipado con el $L^1$ -norma $||\cdot||_1$ definido por $$ ||f||_1 = \int_a^b|f(x)|dx ,$$ está incompleta.
Me dieron un contraejemplo para refutar la afirmación:
Dejemos que $f_n$ sea la secuencia de funciones:
$$f_n(x) = \begin{cases} 0 & x\left[a,\frac{b-a}{2}\right)\\ nx-n\frac{(b-a)}{2} & x\in\left[\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}+\frac{1}{n}\right)\\ 1 & x\in \left[\frac{b-a}{2}+\frac{1}{n},b\right] \end{cases}.$$
Se trata de una secuencia de Cauchy que converge a una función discontinua.
Mi pregunta es:
¿Cómo puedo ver que tal secuencia de funciones es cauchy? Mi idea era que la $||\cdot||_1$ determinará las diferencias de área bajo la curva para cada función, de modo que $||f_n-f_m||\leq \frac{(b-a)}{2}$ . ¿Es esto correcto?