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¿Determinar si una secuencia de funciones es una secuencia de Cauchy?

Demuestre que el espacio $C([a,b])$ equipado con el $L^1$ -norma $||\cdot||_1$ definido por $$ ||f||_1 = \int_a^b|f(x)|dx ,$$ está incompleta.

Me dieron un contraejemplo para refutar la afirmación:

Dejemos que $f_n$ sea la secuencia de funciones:

$$f_n(x) = \begin{cases} 0 & x\left[a,\frac{b-a}{2}\right)\\ nx-n\frac{(b-a)}{2} & x\in\left[\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}+\frac{1}{n}\right)\\ 1 & x\in \left[\frac{b-a}{2}+\frac{1}{n},b\right] \end{cases}.$$

Se trata de una secuencia de Cauchy que converge a una función discontinua.

Mi pregunta es:

¿Cómo puedo ver que tal secuencia de funciones es cauchy? Mi idea era que la $||\cdot||_1$ determinará las diferencias de área bajo la curva para cada función, de modo que $||f_n-f_m||\leq \frac{(b-a)}{2}$ . ¿Es esto correcto?

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Isaac Solomon Puntos 16554

No, eso no es correcto. Tienes que ser capaz de hacer $\lVert f_n - f_m \rVert$ arbitrariamente pequeño para un tamaño suficientemente grande $n,m$ . $(b-a)/2$ es un número fijo. Sin embargo, tienes la idea correcta: intenta encontrar un límite para $\lVert f_n - f_m \rVert$ para $m \geq n$ acotando la medida del conjunto en el que la diferencia es distinta de cero, multiplicada por la máxima diferencia entre las funciones en ese conjunto.

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Liran Orevi Puntos 2126

No creo que haya que ser tan preciso a la hora de encontrar un contraejemplo, sólo hay que demostrar la existencia de uno. Primero, recuerda que las funciones escalonadas son densas en $\mathcal{L}^1([a,b])$ . Entonces, si se inclinan un poco los lados de las funciones características (esto se puede precisar, véase cualquier libro de análisis real), se obtiene un conjunto de funciones continuas densas en $\mathcal{L}^1([a,b])$ . Pero definitivamente hay funciones no continuas en este conjunto.

También se podría llegar a lo mismo utilizando Stone-Weirstrass, pero eso es aún menos concreto.

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