Tal vez sea una pregunta enfermiza. ¿Cómo sabemos que la ecuación de Yang-Mills no tiene una solución clásica no trivial en el espaciotiempo de Minkowski en el vacío? Por solución no trivial me refiero a una que conecte una galga pura con otra con una carga de Chern-Simons diferente. Sabemos que hay soluciones en el espaciotiempo euclidiano, los instantones de BPST, que pueden hacer esto. Y soy consciente de la existencia de barreras entre dos pre-vacíos con diferentes cargas de Chern-Simons. Pero no sé cómo demostrarlo (o mostrarlo) explícitamente.
Respuesta
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Nayan Seth
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Respondido en breve. Tiene que ver con la compacidad. Las condiciones de contorno son muy relevantes para las soluciones tipo instantón, ya que por definición deben tener una acción finita. Esto implica inmediatamente que tales soluciones deben tener un comportamiento particular de decaimiento. En este proceso lo que se hace matemáticamente es, compactar el espacio-tiempo. Sin embargo este procedimiento sólo tiene sentido si su norma es euclidiana porque la forma cuadrática $$x_\mu x^\mu = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$$ es positiva definida (técnicamente $SO(4)$ simétrico que es un grupo compacto), por lo que se puede definir un único punto etiquetado como infinito, que representa todas las coordenadas que aumentan y se alejan cada vez más del origen. Y entonces se puede encontrar una solución ya que expresiones como $|x|^{-n}$ tienen sentido en el infinito. Esto no ocurre en el caso de Minkowski ya que su grupo de simetría es $SO(3,1)$ no es compacta no se pueden escribir soluciones que caigan consistentemente y den acciones finitas.
Nota: Las afirmaciones anteriores no son suficientes (sólo necesarias) para tener soluciones instantáneas. Incluso en la firma euclidiana en $\mathbb{R}^4$ con $U(1)$ simetría, no se tienen soluciones no triviales debido a la equivalencia gauge.
