Cómo demostrar que $0 \leq\lfloor nx \rfloor - n\lfloor x \rfloor \leq n-1$ ?

Question

$x \in \Bbb R, n \in \mathbb N_{\ne 0}$ , demuestre la siguiente desigualdad :

$0 \leq\lfloor nx \rfloor - n\lfloor x \rfloor \leq n-1$

Aquí está mi intento actual

$\lfloor x \rfloor\leq x < \lfloor x \rfloor +1$

$n\lfloor x \rfloor\leq nx < n\lfloor x \rfloor +n$

$\lfloor n\lfloor x \rfloor \rfloor\leq \lfloor nx \rfloor < \lfloor n\lfloor x \rfloor +n\rfloor$

$n\lfloor x \rfloor\leq \lfloor nx \rfloor < n\lfloor x \rfloor +n$

$0\leq \lfloor nx \rfloor - n\lfloor x \rfloor < n$

Y aquí es donde estoy atascado, no sé cómo avanzar para llegar a $n - 1$

Answer 1

Desde $⌊nx⌋−n⌊x⌋$ es un número entero y es estrictamente menor que $n$ (como has mostrado), puede ser como máximo $n−1$ .

Answer 2

Es más fácil asignar variables, para que todo sea más fácil de descifrar.

Se supone que debo diseccionar su trabajo, pero simplemente se vuelve confuso.

Dejemos que $F = \lfloor x\rfloor$ y que $r = x - F \implies 0 \leq r < 1.$

Entonces $nx = nF + nr,$ y $0 \leq nr < n \implies 0 \leq \lfloor nr\rfloor \leq (n-1)$ .

Entonces $\lfloor nx\rfloor = nF + \lfloor nr\rfloor \implies$

$0 \leq \lfloor nx\rfloor - nF \leq (n-1)$ .

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Editar
La afirmación de que
$\lfloor nx\rfloor = nF + \lfloor nr\rfloor$
Se basa en la idea de que si
$A = B + C,$ donde $B$ es un número entero, entonces $\lfloor A\rfloor = B + \lfloor C\rfloor.$