Si $N$ es nilpotente, demuestre que $\det(I+N)=1$

Question

Si $N$ es nilpotente, demuestre que $\det(I+N)=1$ .

Mi intento:

Desde $N$ es nilpotente tenemos $$\det(N)=0.$$ Es decir, existe un vector no nulo $v$ tal que $$Nv=0.$$

Ahora considere $$(I+N)v=Iv+Nv=Iv+0=v.$$

Así, $$(I+N)v=v.$$ Eso es, $1$ es un valor propio de $I+N$ . Con esto, ¿cómo podemos decir $\det(I+N)=1$ ?

Answer 1

Asumiendo que estamos hablando de matrices (es decir, en dimensiones finitas), entonces $N$ es nilpotente si y sólo si $0$ es el único valor propio de $N$ . Añadiendo $I$ a una matriz añade $1$ a todos sus valores propios, por lo que $I + N$ sólo tiene el valor propio $1$ . El determinante, al ser el producto de sus valores propios (hasta la multiplicidad), es por tanto $1$ .

Podemos demostrarlo fácilmente por contradicción. Supongamos que $I + N$ tiene un determinante no igual a $1$ . Entonces, al menos uno de los valores propios no debe ser igual a $1$ por lo que existe un $\lambda \neq 1$ y no cero $v$ tal que,

$$\lambda v = (I + N)v = v + Nv \implies Nv = (\lambda - 1)v.$$

Desde $\lambda \neq 1$ y $v \neq 0$ el vector resultante $(\lambda - 1)v \neq 0$ y sigue siendo un vector propio de $N$ correspondiente a $\lambda - 1$ . Por lo tanto, por inducción,

$$N^k v = (\lambda - 1)^k v \neq 0,$$

que contradice $N$ siendo nilpotente.

Answer 2

Si $N^k = 0$ y $X = I + N$ entonces $(X - I)^k = 0$ . Así que $X$ satisface el polinomio $(x - 1)^k$ . Esto significa que cada valor propio de $X$ es $1$ .

Para ver esto, dejemos $v$ sea un vector propio con valor propio $\lambda$ . Desde $(X - I)^k = 0$ sabemos que $(X - I)^kv = 0$ . Si expandimos el lado izquierdo utilizando el Teorema del Binomio obtenemos

$$ \sum_{r = 0}^k \binom{k}{r}X^r(-I)^{k-r}v = \sum_{r = 0}^k \binom{k}{r}(-1)^{k-r}X^rv = \sum_{r = 0}^k \binom{k}{r}(-1)^{k-r}\lambda^rv = (\lambda - 1)^kv. $$

Así, $(\lambda - 1)^kv = 0$ y por lo tanto $\lambda = 1$ .

Desde $\det X$ es el producto de los valores propios de $X$ (con multiplicidad) se deduce que $\det X = 1$ .

Answer 3

Puede ser la solución más simple puede ser - Supongamos que $N$ es la matriz nilpotente. Entonces el polinomio característico de $N$ es -

$x^k =$ det $(xI-N)$

Poniendo $x=-1$ obtenemos

$(-1)^k = (-1)^k$ det $(I+N)$

Por lo tanto, det $(I+N)$ = $1$