¿Cómo se relacionan los haces de fibras, las funciones de transición y los haces principales?

Question

Por favor, lea la edición de abajo.

¿Es correcto lo que he entendido? Fijar un espacio topológico suficientemente bonito y conectado $B$ y un grupo topológico $G$ . Un haz principal $E\to B$ con grupo de estructura $G$ es (módulo de equivalencia) lo mismo que una colección de funciones de transición $g_{\alpha,\beta}:V_{\alpha}\cap V_{\beta}\to G$ . Un haz de fibras $b:Y\to B$ con fibra $F$ define una colección de funciones de transición $g_{\alpha,\beta}:V_{\alpha}\cap V_{\beta}\to \mathrm{Aut}(F)$ pero no se puede recuperar el haz de fibras a partir de las funciones de transición en general. Sólo se obtiene un haz principal $p:E\to B$ con grupo de estructura $G=\mathrm{Aut}(F)$ por la mencionada equivalencia. ¿Cómo es este haz principal (en relación con el haz de fibras $b$ ) de forma intuitiva?

La información adicional que necesitas para obtener un haz de fibras más general a partir de un haz principal $p:E\to B$ con grupo de estructura $G$ es un espacio $F$ con una acción de $G$ . Entonces se define un haz de fibras $$ q:E\times F/\sim\to B $$ donde la relación es generada por $(x,y)\sim(xg,gy)$ y la clase de equivalencia de $(x,y)$ se asigna a $p(x)$ . Este paquete tiene fibra $F$ . Aplicando esta construcción al haz $b$ desde arriba, supongo que con la evidente acción de $G=\mathrm{Aut}(F)$ en $F$ se obtiene el paquete $q\cong b$ atrás, ¿verdad?

Si el haz de fibras $b$ es un haz vectorial (que generalmente no es un haz principal) no se necesita el segundo paso: Son equivalentes a sus funciones de transición asociadas. ¿Por qué es esto cierto (intuitivamente)?

¿Puede alguien ayudarme a aclarar mi imagen? ¿Es realmente importante cuidar la dirección de las acciones (acción izquierda sobre F, acción derecha sobre E)? Intuitivamente, creo que un haz principal codifica de alguna manera la información global, mientras que la segunda construcción aporta una acción local sobre la fibra.

Editar: Gracias a todos por la aclaración. ¿Son correctas las dos afirmaciones siguientes?

1. Fijar un grupo topológico $G$ y un espacio topológico $B$ . ¿Significa esto que hay un isomorfismo de categorías $$ X\times Y\to Z $$ donde $X$ es la categoría de espacios topológicos con una izquierda $G$ -acción (y $G$ -morfismos equivariantes), $Y$ es la categoría de haces principales sobre $B$ con grupo de estructura $G$ módulo de isomorfismo (y sólo morfismos de identidad) y $Z$ es la categoría de haces de fibras sobre $B$ con grupo de estructura $G$ (y morfismos sobre $B$ )?

2. Ahora fija un espacio topológico $F$ y un espacio topológico $B$ . ¿Significa esto que hay un isomorfismo de categorías $$ X'\times Y'\to Z' $$ donde $X'$ es la categoría de la izquierda $\mathrm{Aut}(F)$ -acciones sobre $F$ (y $\mathrm{Aut}(F)$ -isomorfismos equivariantes (?)), $Y'$ es la categoría de haces principales sobre $B$ con grupo de estructura $\mathrm{Aut(F)}$ módulo de isomorfismo (y sólo morfismos de identidad) y $Z'$ es la categoría de haces de fibras sobre $B$ con fibra $F$ (y los isomorfismos sobre $B$ )?

Answer 1

Incluso en el caso de paquetes vectoriales, se necesita el segundo paso: en ese caso, una representación de $G$ en $GL(V)$ , donde $V$ es un modelo de fibra.

En todos los casos, las funciones de transición codifican la forma en que se supone que se pegan las fibras en los solapamientos, pero no hacen ninguna afirmación sobre lo que es que se está pegando. Si sus funciones de transición son $G$ -, todavía tiene que elegir un espacio con un $G$ -acción para conseguir un paquete.

Aquí tienes muchas opciones. La más fácil es dejar que $G$ actuar sobre sí mismo (o más exactamente, un $G$ -torsor) en un lado o en el otro. El haz correspondiente a sus funciones de transición es entonces el haz principal asociado.

O tal vez $G$ tiene una representación natural $G \to GL(V)$ . El haz correspondiente es un haz vectorial con fibra $V$ .

O tal vez $G$ actúa sobre un espacio topológico $G \to Aut(X)$ . El haz correspondiente es un haz de $X$ s.

En cada caso, sus funciones de transición / cociclo sólo describen la información de pegado. La información sobre lo que se va a pegar tiene que ser proporcionada eligiendo una acción de $G$ en $\text{Thing}$ , dándole un $\text{Thing}$ -bundle pegado por el patrón descrito por su cocycle.

Answer 2

Casi todo lo que dices es correcto, así que no me resulta fácil ver exactamente dónde está tu confusión.

Tal vez sea aquí: la estructura de un $(F,G)$ incluye un espacio topológico $F$ y una acción topológica de un grupo topológico $G$ en $F$ . En el caso de un haz principal, tomamos $F = G$ y que la acción sea la habitual (a la izquierda o a la derecha, dependiendo de cómo se configure).

Una vez que tenga la estructura de $F$ y la acción de $G$ las funciones de transición determinan completamente el $(F,G)$ -hasta la equivalencia. La existencia se maneja a través de una construcción de cociente como se ha indicado anteriormente.

En el caso de los haces vectoriales (digamos reales), todavía se necesita el grupo de estructura $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ . Esto actúa naturalmente por homeomorfismos sobre $\mathbb{R}^n$ pero no es en absoluto todo el grupo de autohomogeneidad de $\mathbb{R}^n$ -- este último es un objeto enorme, de dimensiones infinitas.

El hecho de que la estructura del haz de fibras esté determinada por un cociclo con valores en $\underline{G}$ -- la gavilla de continuos [o quizás suaves, analíticos,...] $G$ -funciones valoradas en el espacio base- es extremadamente conveniente y útil en la teoría: proporciona correspondencias biyectivas naturales entre objetos geométricos con fibras de aspecto muy diferente.

Answer 3

Para comparar los haces vectoriales con los principales GL $(n)$ Hay un segundo punto de vista, más canónico, que puede resultarle útil. Si $E \to B$ es un haz vectorial, entonces el haz de $n$ -en E es un GL principal $(n)$ haz de la mano sobre $B$ , denotado por Fr $(E) \to B$ . Este paquete está formado por todos los $n$ -tuplas $(v_1, \ldots, v_n)$ de manera que el $v_i$ forman una base para alguna fibra de $B$ . El grupo lineal general actúa sobre Fr $(E)$ mediante la siguiente fórmula, que sólo imita la multiplicación de matrices: $$((v_1, \ldots, v_n) \cdot (a_{ij}) = (\sum a_{i1} v_i, \ldots, \sum a_{in} v_i),$$ donde $A = (a_{ij}) \in \textrm{GL}(n)$ .

Puede comprobar que Fr $(E)$ es un GL principal $(n)$ y que para cualquier elección de funciones de transición para el haz $E$ el principal GL $(n)$ construido a partir de esos datos es isomorfo a Fr $(E)$ .