Es una función convexa y semicontinua inferior definida en un subconjunto cerrado y convexo de $\mathbb{R}^n$ ¿constantemente?

Question

Dejemos que $A\subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto cerrado y convexo no vacío, y sea $f:A\to\mathbb{R}$ sea una función semicontinua inferior y convexa.

¿Implica esto que $f$ es continua en $A$ ?

Sé que en el interior (relativo) de $A$ , $f$ es localmente lipchitz así que mi pregunta es sobre los puntos de la frontera. Por supuesto, considero la continuidad de $f$ con respecto a $A$ y no la continuidad de la función extendida $\tilde{f}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\cup\left\{+\infty\right\}$ definido por $\tilde{f}(x):=f(x)$ para $x\in A$ y $\tilde f(x):=+\infty$ para $x\notin A$ que obviamente no es semicontinuo superior en la frontera de $A$ .

Si la respuesta a mi pregunta es negativa un contraejemplo sería bienvenido. Gracias.

Answer 1

Puede utilizar los ejemplos de Extensión de la función convexa acotada al límite redefiniéndolos en la frontera para lograr la semicontinuidad inferior.

Por ejemplo, puede hacer lo siguiente. Consideramos el conjunto $$A:= \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 \le y \}$$ y la función $$f(x,y) = \frac{x^2}y \qquad\forall (x,y) \in A \setminus \{(0,0)\}$$ y $f(0,0) = 0$ . Si no me he perdido algo, esto debería satisfacer sus suposiciones mientras es discontinuo en $(0,0)$ .