Consideremos la serie alterna infinita: $2-3+5-7+11-13+17...$ tomado sobre todos los primos. Las sumas parciales en términos Impares dan: $$2-3+5=2^2\\ 2-3+5-7+11=2^3\\ 2-3+5-7+11-13+\dotsb+23=2^4\\ \vdots$$ ¿Existe una prueba de que hay infinitas sumas parciales que dan como resultado un número de la forma $2^{k}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Joffan
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Efectivamente, estás acumulando huecos primarios alternativos. $2+(5-3) + (11-7)+(17-13)+ \cdots $ . Los valores de la bajada son irrelevantes porque son impar. Los valores pares alternos son monotónicamente crecientes.
Las brechas de los primos son bastante pequeñas en comparación con los propios primos, pero son muy difíciles de poner límites estrictos de forma analítica. No me sorprendería seguir encontrando aciertos ocasionales en las potencias de dos de forma indefinida, pero evidentemente se vuelven más raros.
La tabulación de los resultados de los primos hasta $500$ millones para la potencia creciente de dos, el primo $p_k$ donde la serie alcanza ese valor y el valor real de la serie $S_k$ en ese momento:
\begin{array}{|c|c|} \text{power of $2$} & p_k & S_k & \text{hit?} \\ \hline 2 & 2 & 2 & \checkmark \\ 4 & 5 & 4 & \checkmark \\ 8 & 11 & 8 & \checkmark \\ 16 & 23 & 16 & \checkmark \\ 32 & 59 & 32 & \checkmark \\ 64 & 127 & 70 & \times \\ 128 & 211 & 128 & \checkmark \\ 256 & 449 & 258 & \times \\ 512 & 977 & 512 & \checkmark \\ 1024 & 2087 & 1026 & \times \\ 2048 & 4091 & 2052 & \times \\ 4096 & 8329 & 4104 & \times \\ 8192 & 16649 & 8194 & \times \\ 16384 & 33107 & 16386 & \times \\ 32768 & 64997 & 32788 & \times \\ 65536 & 131009 & 65556 & \times \\ 131072 & 264949 & 131084 & \times \\ 262144 & 525359 & 262148 & \times \\ 524288 & 1051747 & 524306 & \times \\ 1048576 & 2107319 & 1048594 & \times \\ 2097152 & 4204223 & 2097198 & \times \\ 4194304 & 8408747 & 4194312 & \times \\ 8388608 & 16780681 & 8388614 & \times \\ 16777216 & 33563741 & 16777218 & \times \\ 33554432 & 67113811 & 33554438 & \times \\ 67108864 & 134255887 & 67108866 & \times \\ 134217728 & 268466503 & 134217778 & \times \\ \end{array}
