Dejemos que $B(t)$ sea un movimiento browniano. Para $a>0$ tenemos la relación de escala
$$\hat{B}(t)=aB(t/a^2) \sim B(t)$$
y $\hat{B}(t)$ también es un movimiento browniano.
La fórmula de inversión del tiempo establece que
$$B^*(t):= tB(1/t)\mathbb I_{\{t>0\}}, \qquad B^*(0):=0$$
es de nuevo un movimiento browniano.
Ahora bien, si se consideran las fórmulas puntuales en $t$ , entonces para $a=t$ las declaraciones son idénticas.
¿Cuál es exactamente la diferencia entre ambas propiedades?
Las identidades en la distribución que recuerdan son de poco interés para cada uno dado $t$ y se podría imaginar una serie de otros: por ejemplo, cada $B(t)$ es igual en distribución a $\bar B(t)=t^2B(1/t^3)$ .
Pero los dos resultados que recuerdan son mucho más fuertes, ya que afirman que el procesa $B=(B(t))_t$ , $\hat B=(\hat B(t))_t$ y $B^*=(B^*(t))_t$ tienen la misma distribución. Así, para cada $n\geqslant1$ y $t_1\lt t_2\lt\cdots\lt t_n$ los tres vectores aleatorios $(B(t_k))_{1\leqslant k\leqslant n}$ , $(\hat B(t_k))_{1\leqslant k\leqslant n}$ y $(B^*(t_k))_{1\leqslant k\leqslant n}$ tienen la misma distribución.
En el ejemplo con el que empezamos, $B(2)-B(1)$ es normal centrada con varianza $1$ mientras que $\bar B(2)-\bar B(1)=4B(1/8)-B(1)=3B(1/8)-(B(1)-B(1/8))$ es normal centrada con varianza $9(1/8)+(7/8)=2$ por lo que los procesos $B$ y $\bar B$ tienen diferentes distribuciones.
Nota:
$c$ es una constante fija, no puede variar con el tiempo.
La propiedad de escala te dice cómo escala el movimiento browniano. Existe una familia de procesos estocásticos de este tipo, conocidos como procesos estrictamente estables, que se escalan a un factor diferente en lugar de 1/2.
Básicamente dice que si se reduce la escala de tiempo y se estira el proceso por un factor adecuado, sigue siendo un movimiento browniano.
Inversión del tiempo - por su nombre es "invertir" el tiempo, mientras que la escala por $t$
Si miras tu fórmula punto a punto en $t$ , se ve una declaración mucho más débil, mientras que sus resultados son igualdades en la ley para los procesos. En realidad, en cuanto a los puntos, $B_t$ es igual en ley a cualquier gaussiana con varianza $t$ .
Pero tu afirmación es válida también para los procesos, que es un resultado más fuerte.
Para entender mejor la diferencia entre escalamiento e inversión del tiempo, la explicación intuitiva clásica es imaginar que se dibuja una trayectoria browniana con un bolígrafo. El escalado equivale a un zoom o dezoom. La inversión del tiempo, como su nombre indica, corresponde simplemente a dibujar de derecha a izquierda. Y deberías obtener básicamente la misma imagen.
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