Continuidad y diferenciabilidad Q

Question

Tenemos f = e^(-1/|x|) si x no es igual a 0 y f(0) = p.

Pregunta 1: ¿para qué valor(es) de p es f diferenciable en 0? Pregunta 2: ¿es f' continua para los valores encontrados en la pregunta 1?

Lo que intenté para la pregunta 1:

f es diferenciable para los valores en los que existe el límite a medida que h llega a 0 de (f(h) - f(o))/h. Si sigo por este camino llego a f'(0) = lim h->0 1/(h*e^(-1/|h|)) - lim h->0 p/h. ¿Cómo debo continuar?

Y para la pregunta 2: si podemos diferenciar una función en algún punto entonces esa función es por definición también continua en ese punto, porque la continuidad es una condición para la diferenciabilidad.

Agradezco todas las aportaciones.

Answer 1

Para la pregunta (1), observe que ha escrito correctamente que $f$ tiene que ser continua en 0 para ser diferenciable en ese punto, por lo tanto encontremos $$ \lim_{h \to 0} f(h) = \lim_{h\to 0} \exp(-|h|^{-1}) = 0 $$ Por lo tanto, $f$ es continua en $0$ si $p = 0$ , por lo que debemos tener $p =0 $ . Ahora podemos preguntarnos si $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(h) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h^{-1}\exp(-|h|^{-1}) $$ existe, y como $\exp$ crece más rápido que cada polinomio, tenemos que el límite existe, y es igual a $f'(0) = 0$ .

Para la pregunta (2), observe que no es la continuidad de $f$ lo que se pide, sino la continuidad de $f'$ que no se deduce de su existencia. Tenemos que $$ f'(x) = \begin{cases} \mathop{\rm sgn} x \cdot |x|^{-2} \exp(-|x|^{-1}), & x \ne 0\\ 0, & x = 0 \end{cases} $$ Pero, como (de nuevo por las propiedades conocidas de $\exp$ mencionado anteriormente) $$ f'(0) = 0 = \lim_{x\to 0} f'(x) $$ $f'$ es continua en $0$ .