sobre un problema de geometría de noveno curso

Question

Mi hermano me planteó este problema, y está estudiando noveno curso. No puedo resolverlo usando herramientas primitivas de geometría pura. Espero que alguien me pueda dar una pista para resolverlo. Gracias.

Dado un círculo $(O, R)$ et $A$ está fuera $(O)$ tal que $OA > 2R$ . Dibuja dos tangentes AB, AC de $(O)$ . Sea $I$ es el punto medio de AB. El segmento OI interseca con (O) en M. AM interseca con (O) en N, $N \neq M$ . NI interseca con BC en Q. Demostrar que MQ perpendicular con OB

Esta es la foto

Answer 1

Esto NO es una solución. Sólo quiero compartir algunos de mis hallazgos.

Construcción: 1) Se extiende BO para cortar el círculo rojo en D; 2) DA corta el círculo rojo en E y BM se extiende en F; 3) Se une OE.

Por el teorema del punto medio, tenemos 1) OMI // DEFA; 2) BJ = JE; BM = MF.

1. Todos los ángulos marcados con el mismo color son iguales.

2. OJMI es la línea de centros de los 4 círculos y BJHE es la cuerda común (excluyendo el verde).

3. H es el ortocentro del triángulo isósceles DBF.

4. B, G, H y M se encuentran en el círculo verde.

Una forma de conseguirlo es demostrar que MQ es paralelo a BI o GH.

Answer 2

Encontré una solución usando sólo conocimientos de geometría de Euclides, pero no está en el nivel 9, así que todavía espero ver alguna solución primitiva pura.

Para facilitar el problema, invierto la pregunta para que sea así: Sea Q la intersección de la recta que pasa por M y es paralela a AB y BC. Entonces sólo tenemos que demostrar que N, Q e I están en una recta

Sea K la intersección de BC y MN. BC es la recta polar de A con (O), por lo que debemos tener (MNKD) = -1. Por lo tanto, (IN,IM,IK,ID) = -1. Sea P la intersección de MQ con NI y L la intersección de MQ con IK. Como MP es paralela a ID, tenemos que L es el punto medio de MP.

Usando el triángulo KBD, como I es punto medio de BD y MQ es paralelo a BD, tenemos que L también es punto medio de MQ. Por tanto, concluimos que P y Q coinciden.

Answer 3

Tengo suerte de encontrar esta hermosa solución, y para resolverla sólo se necesitan conocimientos de 9º curso. Aquí está la solución

Sean P y R las intersecciones de BC con OI y AM, respectivamente. Sea S la reflexión de M a través de I.

En primer lugar, incluso utilizando el nivel de 9º grado, podemos demostrar fácilmente que ${RM \over RN} = {AM \over AN}$ Por lo tanto ${RM \over MA} = {RN \over AN}$ . I es el mismo punto medio de BA y MS, por lo tanto BSAM es un paralelogramo, por lo tanto BS es paralelo a MR.

Tenemos esta cadena de ecuaciones:

$${PR \over PB} = {RM \over BS} = {RM \over MA} = {NR \over NA}$$

Por lo tanto, debemos tener que PN es paralela a BA. Por lo tanto, tenemos esta cadena de ecuaciones:

$${PQ \over QB} = {PN \over BI} = {PN \over IA} = {MN \over MA}$$

Por lo tanto, la QM es paralela a la BA. El problema está resuelto.