¿Qué álgebra satisface esto?

Question

¿Sabes si el siguiente conjunto de reglas tiene un álgebra más general que los números complejos habituales?

Tal vez alguien pueda también ayudarme a enunciar las reglas de alguna manera matemáticamente rigurosa (elegante :) ) para que tenga una afirmación sólida.

Los elementos son objetos indexados con dos números reales. La multiplicación es asociativa y satisface

$X_{a,b}\cdot X_{c,d}=X_{ac,b+d}$

Además, el segundo índice es periódico

$X_{a,b+1}=X_{a,b}$

[EDIT: a partir de una investigación posterior parece que en realidad defino un "campo" y requiero las dos reglas anteriores]

Ahora siempre requiero que alguna operación llamada adición que satisfaga todos los axiomas de la adición común (asociativa, conmutativa, cero, negación) produzca un elemento dentro del conjunto de estos elementos

[EDIT: Creo que he olvidado la regla $X_{a,0}+X_{b,0}=X_{a+b,0}$ ¿o no es necesario?]

$\exists e,f:X_{a,b}+X_{c,d}=X_{e,f}$

La multiplicación de arriba es distributiva sobre esta adición.

¿Estas normas ya definen cómo $e$ y $f$ ¿debería ser? Tengo una prueba poco firme de que tienen que ser reglas de números complejos, pero no estoy seguro de si hay algo más general. Una parte inestable es que requiero raíces cuadradas.

(Extra: ¿y si elimino la condición de periodicidad en el segundo índice?)

[EDIT: Motivación de este álgebra: Imaginé que el primer parámetro era una especie de parámetro de crecimiento/escalado y el segundo parámetro era una especie de parámetro de envejecimiento. El parámetro de envejecimiento es periódico. Las reglas mencionadas se supone que representan lógicamente el crecimiento y el envejecimiento. La adición está relacionada con el crecimiento. Ahora me pregunto si la adición está determinada de forma única si asumo que por alguna razón esta una suma debe devolver siempre un único crecimiento y un único envejecimiento]. ]

Answer 1

Esto es no realmente una respuesta (todavía), sólo un pensamiento en voz alta que se hizo demasiado largo para un comentario.

Así que, según entiendo, tienes un campo $F$ (con las operaciones $+$ y $\cdot$ ) dotado de una suryección $f: \mathbb R^2 \to F$ y los siguientes axiomas adicionales (que se mantienen para todo $a, b, c, d \in \mathbb R$ ):

$$\tag{1} f(a,b+1) = f(a,b)$$ $$\tag{2} f(a,b) \cdot f(c,d) = f(ac, b+d)$$ $$\tag{3} f(a,0) + f(b,0) = f(a + b, 0)$$

Empecemos por encontrar las identidades aditiva y multiplicativa $\mathbf 0$ y $\mathbf 1$ de $F$ . Esto resulta ser bastante sencillo:

• Por axioma $(2)$ , $f(a,b) \cdot f(1,0) = f(a,b)$ Así que $f(1,0) = \mathbf 1$ .
• Por axioma $(3)$ , $f(0,0) + f(0,0) = f(0,0)$ . Al restar $f(0,0)$ de ambos lados, tenemos $f(0,0) = \mathbf 0$ .

Del axioma $(2)$ se deduce que $f(a,b) \cdot f(0,0) = f(0,b)$ pero a partir de los axiomas de campo, sabemos que $x \cdot \mathbf 0 = \mathbf 0$ para cualquier $x$ . La única manera de conciliar estos resultados es tener, para todos $b \in \mathbb R$ :

$$f(0,b) = f(0,0)$$

Esto sugiere un modelo trivial de estos axiomas: $F = \mathbb R$ y $f(a,b) = a$ . Se puede comprobar fácilmente que este modelo satisface los axiomas $(1)$ a $(3)$ y hace $F$ un campo y $f$ un suryecto.

También hay al menos un modelo no trivial, como sugiere Raskolnikov en los comentarios: $F = \mathbb C$ y $f(a,b) = a e^{i 2 \pi b}$ . De hecho, para cualquier número entero positivo $k$ , $F = \mathbb C$ y $f(a,b) = a e^{i 2 k \pi b}$ producen otro modelo de los axiomas.

Pero claro, asumo que ya has averiguado todo hasta este punto, y ahora quieres averiguar si hay algún modelo no trivial en el que $F \ne \mathbb C$ . Tendré que pensar un poco más en ello, pero mientras tanto, quizá estos apuntes puedan darle al menos una nueva perspectiva del problema.

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Bien, algunas reflexiones más:

• Axioma $(2)$ nos da una descomposición muy útil: $f(a,b) = f(a,0) \cdot f(1,b)$ . Usando esto y la distributividad, podemos generalizar el axioma $(3)$ a: $$\tag{3*} f(a,c) + f(b,c) = f(a+b,c)$$ Es de esperar que esto nos acerque a una regla general de adición.

• Llamemos a un elemento $x \in F$ "real" si existe $a \in \mathbb R$ tal que $f(a,0) = x$ . El subconjunto $F_R$ de elementos reales de $F$ contiene ambas identidades y es cerrado bajo adición, multiplicación y toma de inversos, por lo que es un subcampo de $F$ . De hecho, $a \mapsto f(a,0)$ es un isomorfismo de campo de $\mathbb R$ a $F_R$ .

  En todos los modelos descritos anteriormente, $f(a,\frac12)$ también es real para todos $a$ . De hecho, tenemos dos casos: o bien $f(a,\frac12) = f(a,0)$ o $f(a,\frac12) = -f(a,0)$ . ¿Podemos demostrar que son todo ¿los posibles casos? En particular, ¿podemos demostrar que $f(1,\frac12)$ es $\mathbf 1$ o $-\mathbf 1$ ?