conjuntos abiertos y cerrados

Question

Considere el conjunto $$S = [0,1/2] \cup [3/4, 7/8] \cup [15/16, 31/32] \cup \cdots$$ y el conjunto $$T = (0,1/2) \cup (3/4, 7/8) \cup (15/16, 31/32) \cup \cdots$$

Es $S$ ¿abierto, cerrado o ninguno? ¿Es $T$ ¿abierto, cerrado o ninguno?

Answer 1

Para poder responder a estas preguntas hay que saber qué significa "abierto" y "cerrado". Y eso depende del contexto.

En el contexto que estás viendo, en el que se trata de subconjuntos de la línea real, sin más información solemos suponer que se trata de la estándar significados de "abierto" y "cerrado". Los significados son:

• Un conjunto es $\mathcal{O}\subseteq\mathbb{R}$ es Abrir si y sólo si para cada $x\in \mathcal{O}$ hay un $\epsilon\gt 0$ (que puede depender de $x$ ) tal que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subseteq \mathcal{O}$ (donde $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ es el conjunto de todos los números reales $y$ tal que $x-\epsilon \lt y \lt x+\epsilon$ ).

• Un conjunto $\mathcal{C}\subseteq\mathbb{R}$ es cerrado si y sólo si su complemento $\mathbb{R}-\mathcal{C}$ es abierto; si y sólo si para cada punto $x\notin \mathcal{C}$ existe $\epsilon\gt 0$ (que puede depender de $x$ ) tal que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap \mathcal{C}=\emptyset$ . Alternativamente, un conjunto $\mathcal{C}\subseteq\mathbb{R}$ es cerrado si y sólo si para toda secuencia convergente de números reales $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ , si cada $x_n$ está en $\mathcal{C}$ y $\lim\limits_{n\to\infty}x_n = x$ entonces $x\in\mathcal{C}$ .

Algunas consecuencias de estas definiciones son:

1. Ambos conjuntos $\mathbb{R}$ y $\emptyset$ están abiertos y cerrados.
2. Todo intervalo abierto es un conjunto abierto. Todo intervalo cerrado es un conjunto cerrado.
3. Si $\mathcal{O}_1$ y $\mathcal{O}_2$ son ambos abiertos, entonces su intersección $\mathcal{O}_1\cap\mathcal{O}_2$ también está abierto (dado $x$ en la intersección, encontrar $\epsilon_1\gt 0$ y $\epsilon_2\gt 0$ para que $(x-\epsilon_i,x+\epsilon_i)\subseteq\mathcal{O}_i$ y, a continuación, deja que $\epsilon=\min\{\epsilon_1,\epsilon_2\}$ sea el testigo de la intersección). En consecuencia, utilizando las leyes de De Morgan, si $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ están cerrados, entonces $\mathcal{C}_1\cup\mathcal{C}_2$ está cerrado.
4. Utilizando la inducción, de 3 se deduce que cualquier intersección de finitamente muchos conjuntos abiertos es abierto, y cualquier unión de finitamente muchos conjuntos cerrados es cerrado.
5. Si $\mathcal{O}_i$ es cualquier familia (de cualquier tamaño, finito o infinito) de conjuntos abiertos, entonces $\cup\mathcal{O}_i$ también está abierto (elige $x$ en la unión; entonces pertenece a algún $\mathcal{O}_j$ y como $\mathcal{O}_j$ está abierto y $x\in\mathcal{O}_j$ existe $\epsilon\gt 0$ tal que $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subseteq\mathcal{O}_j\subseteq \cup\mathcal{O}_i$ ). En consecuencia, si $\mathcal{C}_i$ es cualquier familia (de cualquier tamaño, finito o infinito) de conjuntos cerrados, entonces $\cap\mathcal{C}_i$ está cerrado.

Por lo tanto, al revisar sus ejemplos, debe quedar claro que $T$ debe ser abierto, ya que es una unión de intervalos abiertos; los intervalos abiertos son conjuntos abiertos, y una unión arbitraria de conjuntos abiertos es siempre abierta. Lo que no está claro es si $S$ está cerrado o no, y eso es porque:

• En general, una intersección arbitraria de conjuntos abiertos no es necesariamente abierta, sino que puede estar abierto, o puede estar cerrado (por ejemplo, $\mathop{\cap}\limits_{n=1}^{\infty}(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) = [0,1]$ ), o puede no estar ni abierto ni cerrado.
• En general, una unión arbitraria de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada, sino que puede estar cerrado, pero también puede estar abierto, o ninguna de las dos cosas.

Entonces... ¿qué pasa con $S$ ? Resulta algo difícil, a primera vista, intentar determinar si es cerrado utilizando la definición de "complemento abierto"; pero no está tan mal comprobar que no satisface la condición que etiqueté como "equivalente": si tenemos una secuencia de puntos en $S$ que converge en $\mathbb{R}$ ¿el límite será en $S$ ? Bueno, toma $x_n = 1 - \frac{1}{2^{2n+1}}$ es decir $x_1=\frac{7}{8}$ , $x_2 = \frac{31}{32}$ , $x_3=\frac{127}{128}$ etc. Todos ellos están en $S$ y la secuencia converge a $1$ . Es $1$ en $S$ ? $1$ está en $S$ si y sólo si está en al menos uno de los intervalos de la unión... ¿es así? Pues no. Así que $S$ no está cerrado.

Es $S$ ¿abierto, entonces? Bueno, si estuviera abierto, entonces desde $\frac{1}{2}\in S$ Tendría que haber alguna $\epsilon\gt 0$ tal que $(\frac{1}{2}-\epsilon,\frac{1}{2}+\epsilon)\subseteq S$ . ¿Existe tal $\epsilon$ ? Pues no; cualquier intervalo de este tipo contendría puntos más pequeños que $\frac{1}{2}$ y no hay puntos más pequeños que $\frac{1}{2}$ en $S$ . Así que $S$ tampoco está abierto.

Por lo tanto, si $S$ no está abierto, pero tampoco está cerrado... entonces no es ninguna de las dos cosas.

Como señala Asaf, las uniones contables infinitas de conjuntos cerrados hacer aparecen mucho, así que aunque no estén cerradas, les damos un nombre especial porque a menudo querremos decir "esto puede no estar ni abierto ni cerrado, pero es una unión contable de conjuntos cerrados". Los llamamos $\mathcal{F}_{\sigma}$ (se pronuncia "eff-sigma"); $\mathcal{F}$ viene del francés fermé para "cerrado"; $\sigma$ es una letra que se utiliza a menudo en matemáticas para denotar que una suma o unión se toma un número contable, pero posiblemente infinito, de veces (del francés somme para la suma). Por otra parte, a menudo nos interesan los conjuntos que son intersecciones contables de conjuntos abiertos; estos conjuntos pueden ser abiertos, cerrados o ninguno de los dos, pero los llamamos $\mathcal{G}_{\delta}$ ("gee-delta"); esta vez, en un arrebato de internacionalismo, viene del Alemán En concreto Gebiet (abierto) y Durchshnitt (intersección). Su conjunto $S$ es un $\mathcal{F}_\sigma$ conjunto.

En general, se habla de Espacios topológicos generalizando estas nociones. Un espacio topológico es un par ordenado $(X,\mathcal{O})$ , donde $X$ es un conjunto cualquiera, y $\mathcal{O}$ es una colección de subconjuntos de $X$ básicamente, especificamos explícitamente qué conjuntos van a ser los conjuntos "abiertos". Exigimos que la colección $\mathcal{O}$ satisfacen algunas de las mismas condiciones que los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ satisfacer, es decir, requerimos que:

• $\emptyset$ y $X$ son ambos conjuntos "abiertos" (elementos de $\mathcal{O}$ );
• Si $A$ y $B$ son ambos conjuntos "abiertos", entonces $A\cap B$ es un conjunto abierto (es decir, si $A$ y $B$ son ambos elementos de $\mathcal{O}$ entonces $A\cap B$ es un elemento de $\mathcal{O}$ ); y
• Si $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia, finita o infinita, de conjuntos "abiertos", entonces $\mathop{\cup}\limits_{i\in I}A_i$ es también un conjunto "abierto" (si cada $A_i$ es un elemento de $\mathcal{O}$ entonces también lo es su unión).

Entonces definimos un subconjunto de $X$ para ser cerrado si y sólo si su complemento es abierto, y seguir a partir de ahí. Caveat La descripción de los conjuntos cerrados a través de los límites de las secuencias ya no es cierta; se puede definen la noción de convergencia, pero en los espacios topológicos arbitrarios las propiedades no son tan agradables como en los números reales (hay espacios donde las propiedades son bonito; reciben nombres especiales por ello). En cambio, hay que considerar una noción más general (llamada "redes").

Así que el mismo conjunto puede tener muchas "topologías", y muchas nociones de lo que puede significar un conjunto abierto o cerrado. Por eso la gente te pregunta si se trata de la topología "estándar" o no (suponiendo que hayas llegado hasta aquí en mi respuesta, de todos modos...) Es decir, ¿se trata de la noción que he descrito antes, o de alguna otra versión de una topología?

Todo esto forma parte del interesante y profundo campo de la Topología.

Answer 2

En aras de la respuesta voy a suponer que se trata de la topología estándar de los números reales, pero intentaré ser lo más general posible para que sea más sencillo generalizar.

La unión de cualquier número de conjuntos abiertos sigue siendo abierta, por lo que $T$ está abierto. La unión de un número contable de conjuntos cerrados no tiene por qué ser cerrada, este tipo de conjuntos se llama $F_\sigma$ .

Mientras que algunos $F_\sigma$ son conjuntos abiertos (de hecho, en un espacio métrico, como los números reales con su topología estándar, todo conjunto abierto es $F_\sigma$ ) éste no lo es. Uno de los requisitos de un conjunto abierto (en cualquier topología) es que tendrá una vecindad abierta alrededor de cada punto dentro de él.

En el caso anterior eso significa que habrá un intervalo alrededor de cada punto, que es una propiedad que no se satisface con $S$ como el punto $\frac{1}{2}$ está en $S$ pero no hay ningún intervalo alrededor contenido en $S$ .

Pero todavía existe el caso en el que $S$ podría estar cerrado también, sin embargo si miramos la secuencia $a_n = \frac{2^{2n-1}-1}{2^{2n-1}}$ (los puntos finales de cada intervalo cerrado dentro de la unión) entonces está claro que $a_n$ se acerca a $1$ pero como $1 \notin S$ entonces tenemos que $S$ no está cerrado.

Answer 3

Si tenemos la topología estándar T es la unión contable de conjuntos abiertos disjuntos y por tanto T es un conjunto abierto.

El complemento de S es $(-\infty, 0) \cup (1/2, 3/4) \cup (7/8, 15/16) \cup \cdots$ etc. si esto está abierto entonces S está cerrado. ¿Está abierto? ¿Por qué?