1 subgrupos paramétricos y grupos de Lie

Question

Estaba leyendo unos apuntes de clase (que desgraciadamente no están disponibles en internet) sobre grupos de Lie y encontré que a veces el autor dice que si quiere demostrar algo para todos los elementos de los grupos de Lie es suficiente con considerar $1$ subgrupos de parámetros $e^{t \eta}$ donde $\eta \in \mathfrak{g}$ es un elemento arbitrario del álgebra de Lie correspondiente.

Más concretamente, quiere demostrar que $f(g) = h(g) \quad [2]$ para funciones suaves $f,h:G \rightarrow \mathbb{R}$

entonces dice que esto es así si y sólo si

$$\frac{d}{dt}|_{t=0} f(e^{t \eta}) = \frac{d}{dt}|_{t=0} h(e^{t\eta}). \quad [1]$$

Mi pregunta es: ¿En qué condiciones la ecuación $(2)$ equivalente a la ecuación $(1).$

Answer 1

Necesita las funciones $f$ y $h$ para respetar la estructura del grupo de alguna manera. Si $f\equiv0$ y $h$ es una función suave no trivial cuyo soporte no contiene la identidad, entonces su condición es verdadera pero $f=h$ es falso.

En primer lugar, hay que suponer que la exponencial del álgebra de Lie es densa en el grupo de Lie. De lo contrario, considerar sólo las exponenciales no será suficiente para sacar conclusiones en cualquier lugar, y se puede utilizar una construcción similar a la que di anteriormente. La exponencial del álgebra de Lie sólo puede ser densa si el grupo es conexo, y para los grupos compactos esta condición también es suficiente.

Una forma natural de garantizar la equivalencia es asumir $f$ y $h$ sean homomorfismos, al menos en cada subgrupo de un parámetro. Esto es suficiente, no necesario; veamos qué ocurre si dejamos que $f$ y $h$ sean múltiplos de una función fija con diferencial no nula en la identidad.

Si $f$ es un homomorfismo suave del subgrupo de un parámetro abarcado por $\eta\in\mathfrak g$ al grupo aditivo $\mathbb R$ entonces $t\mapsto f(e^{t\eta})$ es lineal, por lo que está determinada de forma única por su derivada en cualquier punto.

Si $f$ es un homomorfismo suave al grupo multiplicativo $\mathbb R\setminus\{0\}$ entonces $f(e^{(t+s)\eta})-f(e^{t\eta})=f(e^{t\eta})[f(e^{s\eta})-1]$ Así que $$ \left.\frac{d}{dt}f(e^{t\eta})\right|_{t=t_0} = f(e^{t_0\eta}) \left.\frac{d}{dt}f(e^{t\eta})\right|_{t=0}. $$ Una vez más, dicha función está determinada de forma única por su derivada en un punto.

Revisa tus apuntes de clase. Debe haber algunas suposiciones sobre el grupo y las funciones consideradas.