¿Es esto correcto? $\sin'(z) = \cos(z),~\cos'(z) = -\sin(z)$

Question

Sólo quiero que comprobéis si estoy en el camino correcto.

así que para probar $\sin '(z)$ = $ \cos (z)$

Hice esto: $\sin (z)$ = $\frac {e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

$\sin '(z)$ = $\frac {i(e^{iz} + e^{-iz})}{2i}$ = $\frac {e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ = $\cos (z)$

¿Es eso correcto?

y para $\cos '(z)$ = $-\sin (z)$ Yo hice algo parecido.

$\cos (z)$ = $\frac {e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

$\cos '(z)$ = $\frac {i(e^{iz} - e^{-iz})}{2}$ = $\frac {i(e^{iz} - e^{-iz})}{2}* \frac{i}{i}$ = $\frac {i^2(e^{iz} - e^{-iz})}{2i}$ = $\frac {-e^{iz} + e^{-iz}}{2i}$ = $-\sin (z)$

o utilizando la fórmula/ecuación de Cauchy-Riemann:

$f '(z_0)= \frac{du}{dx} (x_0, y_0) - i \frac{du}{dy} (x_0,y_0)$

donde

$\frac{du}{dx} (x_0,y_0) = \frac{dv}{dy} (x_0,y_0)$ y $\frac{du}{dy} (x_0,y_0) = -\frac{dv}{dx} (x_0,y_0)$

así que $\cos z = \cos x\cosh y - i\sin x\sinh y$ utilizando la fórmula/las ecuaciones obtenemos:

$\cos '(z) = -\sin x\cosh y - i\cos x\sinh y$ . Creo que esta es la forma correcta. pero por favor corríjanme si me equivoco. Gracias.

Answer 1

Parece que está bien (aunque no estoy seguro del enfoque Cauchy-Riemann). La mejor manera de demostrarlo es utilizando la definición exponencial de $\sin$ e o $\cos$ ine para verificar las derivadas. Sólo una nota rápida; Para un método más riguroso, también se puede demostrar el resultado por diferenciación de primeros principios: \begin{equation*} \frac{d}{dx}\sin(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \end{equation*} y aplicar las fórmulas del doble ángulo. Proceda de forma similar para $\cos$ ine.

También puede interesarle el siguiente enfoque geométrico para su problema de derivación:

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/1.-differentiation/part-a-definition-and-basic-rules/session-8-limits-of-sine-and-cosine/MIT18_01SCF10_Ses8d.pdf