Hay cualquier % prime $p$tal que $(p-1)!+1=p^m$

Question

Según el teorema de Wilson, sabemos que %#% $ $$p\mid(p-1)!+1$ #%. Además, contamos con

$(2-1)! + 1 = 2 ^ 1\\ (3-1)! + 1 = 3 ^ 1\\ (5-1)! + 1 = 5 ^ 2$

Creo que no existe ninguna tal prime $p\in\mathbb{P}$satisfacción $p$ además de $(p-1)!+1=p^m$. Pero no tengo ni idea para probarlo. ¿Alguien me podría dar una mano?

Answer 1

Si eliminamos $(p-1)$ de ambos lados de $(p-1)! = (p-1)(1 + p + p^2 ..+p^{m-1})$. tenemos $(p-2)! =(1 + p + p^2 ..+p^{m-1})$. Ahora si $p > 5$, entonces el $LHS = 0 \mod (p-1)$ $p-1 = 2 * \frac{p-1}{2}$ $RHS = m \mod (p-1)$. Esto afirma que divide a que $p-1$ $m$. Pero $p^{p-1} >>(p-1)!$ % grande $p$, así no se diferencian por 1