Producto cruz en coordenadas esféricas

Question

Hola tengo una pregunta: ¿Es la fórmula para el producto cruz el mismo en coordenadas esféricas que en coordenadas cartesianas? He encontrado respuestas contradictorias en Internet.

Answer 1

Son iguales para campos vectoriales pero tienden a ser diferentes para vectores de posición individuales, por lo que puede complicarse pensar en su interrelación.

Está bien, aquí está la cuestión. Estás acostumbrado a que los vectores generalmente no tengan un "lugar" bien definido donde viven. Decimos que obtienes $\vec a + \vec b$ "levantando $\vec b$ y colocando su extremo en la punta de $\vec a". Y eso funciona muy bien en coordenadas cartesianas, y es una gran visualización. Los vectores no tienen una posición en el espacio, podemos moverlos. Eso solo es un poco cierto.

Cuando estás trabajando con coordenadas curvilíneas -- ¡esféricas son solo un ejemplo! -- entonces en general, cada punto del espacio tiene sus propias coordenadas, y tenemos que decir dónde están localizados los vectores en el espacio, si queremos especificar sus coordenadas. El vector en sí mismo puede ser fácil de recoger y colocar en algún otro lugar, pero sus coordenadas no lo serán.

Si dos vectores tienen ciertas coordenadas en un cierto punto del espacio, entonces sí, podemos sumar esas coordenadas directamente. Entonces, el lenguaje/jerga usual es que, adjunto a cada punto del espacio, hay un "espacio tangente" que es un espacio vectorial normal de coordenadas cartesianas 3D, con vectores base (para coordenadas esféricas) $\hat r, \hat \theta, \hat \phi$. Si vives en el espacio tangente de un punto, sin mover coordenadas de ese punto, entonces la adición de vectores es Cartesiana.

Ahora, puedes expresar cualquier vector que desees en cualquier punto utilizando sus vectores base. El producto cruz funcionará normalmente para cualquier par de vectores que estén definidos en el mismo punto, porque los vectores base son ortonormales, siempre y cuando averigües la orientación adecuada: en este caso $\hat r \times \hat \theta = -\hat\phi$ usualmente, como cuando estás en $(x,y,z) = (1,0,0)$ tienes $\hat r = \hat x$ y $\hat \theta = \hat y$ pero $\hat \phi = -\hat z$. Entonces, para mantener una "orientación" diestra para tu sistema, querrás listar los componentes como "radial, luego polar, luego azimutal", así el vector cambio-en-posición $d\vec r = [dr, r~d\phi, r~\sin\phi~d\theta]$ en el sistema de coordenadas de la posición actual $(r, \phi, \theta)$.

Resulta que esto es suficiente para derivar un campo escalar que resulta ser un campo vectorial: pero las cosas se complican cuando quieres derivar un campo vectorial. No es solo que necesitas un tensor para hacerlo, ya que estás relacionando algún campo de desplazamiento de entrada $d\vec r$ con algún cambio de campo $d\vec a$, pero las coordenadas que estás usando también se desplazan con $d\vec r$: $$d\vec a = \vec a(\vec r + d\vec r) - \vec a(\vec r) = da_r ~ \hat r + da_\phi ~ \hat\phi + da_\theta ~\hat\theta + a_r~d\hat r + a_\phi~ d\hat\phi + a_\theta ~ d\hat \theta.$$ Así que es complicado.

Observa también que $(r, \phi, \theta)$ no es un tipo ordinario de vector en un sentido físico: no tiene el significado que esperarías si lo convirtieras ingenuamente en un campo vectorial. Entonces no puedes hacer producto cruz de dos de estos juntos. En su lugar, debes especificar un lugar en cuyo espacio tangente el "vector de posición" vive.

Una elección "imparcial" sería $r = 0$, pero esta elección hace que las coordenadas sean un poco singulares y podrías simplemente revertir a las coordenadas Cartesianas $[x,y,z] = [r \sin \phi \cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\phi]$ para avanzar realmente. Es decir, podrías usar el sistema $(r,\phi,\theta)$ $(0,\pi/2,0)$ para que $\hat r = \hat x,\hat \phi = -\hat z,\hat\theta = \hat y$, que es diestro cuando preservas ese orden.

Otra elección conveniente para el vector de posición es elegir el punto $(r, \theta, \phi)$, donde el vector es simplemente $\vec r = r ~\hat r$. Eso es simple, y como antes, también podemos expresar fácilmente $d\vec r$ en este punto. Pero cuando tratas de hacer el producto cruz entre dos posiciones diferentes y obtienes $(r_1 r_2)~ \hat r_1 \times \hat r_2$, no te atrevas a decir que $\hat r_1 = \hat r_2$ y por lo tanto todo esto es $0$, ¡a menos que sepas eso como un hecho! Dos vectores de posición diferentes vivirán en dos espacios tangentes diferentes por esta convención, y tu fórmula de producto cruz no funcionará entre espacios tangentes, sino solo dentro de un espacio tangente.

¿Queda claro por qué ves expresiones donde fórmulas clásicas funcionan (por ejemplo, campos vectoriales, que siempre están definidos sobre todos los puntos) y expresiones donde no lo hacen (por ejemplo, coordenadas de posición)?