transformación lineal fraccionaria con $w(1)=i$ y $\arg w'(1)=\frac{\pi}3$ .

Question

¿Existe una transformación lineal fraccionaria $w$ de tal manera que mapea la región $\{z;\Re z>0\}$ en la región $\{w;\Im w>0\}$ de tal manera que $w(1)=i$ y $\arg w'(1)=\frac{\pi}3$ ?

Creo que la forma general de este mapa es $w=az$ como deberíamos tener $w(0)=0$ y $w(\infty)=\infty$ . Por lo que se deduce de $w(1)=i$ que $w=iz$ pero claramente $\arg w'(1)\neq\frac{\pi}3$ ? ¡Así que probablemente mi libro de texto esté equivocado!

Answer 1

La forma general de una transformación lineal fraccionaria que mapea el eje real a sí mismo es $(a z + b)/(c z + d)$ con $a, b, c, d$ real. La composición con rotación por $\pi/2$ da $(i a z + b)/(i c z + d)$ para una transformación que lleva el eje imaginario al eje real. Utilizando la condición $w(1) = i$ y asumiendo $a \neq 0$ podemos simplificar la forma general a $(i z - a)/(i a z + 1), \;a \in \mathbb R$ .

Para Diversión fines educativos, encontremos $a$ geométricamente. $w(-1/(i a)) = \infty$ Por lo tanto $w(1/(i a)) = x_c = (1/a - a)/2$ es el centro del círculo al que $w$ mapea la línea real. Entonces $\pi/3$ es el ángulo entre la línea real y la tangente al círculo en $i$ Es decir, $x_c = \tan(\pi/3)$ . Las imágenes de $-1, 0, 1$ son $-i, -a, i$ que hay que recorrer en el sentido de las agujas del reloj. Esto da como resultado $a > 0$ , dejando una de las dos raíces.