Ecuaciones diferenciales (demostración)

Question

Esta es la pregunta -->

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Lo que he hecho;

$$ dS/dt = kS(N-S) $$

$$ 1/(S(N-S)) = k dt $$

$$ 1/(SN - S^2) = k dt $$

Por lo tanto,

$$ 1/(S-2S) * ln|SN-S^2| = kt + c $$

Si no es así, ¿podría alguien guiarme?

Answer 1

$$s'(t)=ks(t)(n-s(t))\Longleftrightarrow$$ $$\frac{s'(t)}{s(t)(n-s(t))}=k\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{s'(t)}{s(t)(n-s(t))}\space\text{d}t=\int k\space\text{d}t\Longleftrightarrow$$ $$\frac{\ln\left|s(t)\right|-\ln\left|s(t)-n\right|}{n}=kt+\text{C}\Longleftrightarrow$$ $$s(t)=\frac{ne^{n\left(kt+\text{C}\right)}}{e^{kt+\text{C}}-1}\Longleftrightarrow$$ $$s(t)=n+\frac{n}{e^{n\left(kt+\text{C}\right)}-1}$$

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Sabemos que $2$ los estudiantes conocieron el rumor, en su momento $0$ :

$$s(0)=2\Longleftrightarrow$$ $$2=n+\frac{n}{e^{n\left(k\cdot0+\text{C}\right)}-1}\Longleftrightarrow$$ $$2=\frac{ne^{n\left(k\cdot0+\text{C}\right)}}{e^{k\cdot0+\text{C}}-1}\Longleftrightarrow$$ $$2=\frac{ne^{n\left(0+\text{C}\right)}}{e^{0+\text{C}}-1}\Longleftrightarrow$$ $$2=\frac{ne^{n\text{C}}}{e^{\text{C}}-1}\Longleftrightarrow$$ $$\text{C}=-\frac{\ln\left(\frac{2-n}{2}\right)}{n}$$

Así que:

$$s(t)=n+\frac{n}{e^{n\left(kt+\left(-\frac{\ln\left(\frac{2-n}{2}\right)}{n}\right)\right)}-1}=\frac{2ne^{knt}}{n+2e^{knt}-2}=\frac{n}{1+\frac{1}{2}e^{-knt}(n-2)}$$