¿Puede alguien dar un razonamiento intuitivo de por qué la unión disjunta incontable de copias de $\mathbb{R}$ es lo mismo que $\mathbb{R}$ con producto de topología discreta con $\mathbb{R}$ con la topología habitual?
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DiGi
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1925
No es cualquier unión incontable: es la unión de $|\Bbb R|$ copias de $\Bbb R$ .
Para cada $r\in\Bbb R$ dejar $X_r$ sea una copia de $\Bbb R$ con la topología habitual, y dejemos que $X$ sea la unión disjunta $\bigsqcup_{r\in\Bbb R}X_r$ . Sea $Y$ denotan $\Bbb R$ con la topología discreta. Para cada $r\in\Bbb R$ definir
$$h_r:X_r\to Y\times\Bbb R:x\mapsto\langle r,x\rangle\;;$$
comprobar que $h_r$ es un homeomorfismo de $Y_r$ a $\{r\}\times\Bbb R$ . (En otras palabras, es el homeomorfismo natural entre dos copias de $\Bbb R$ .
Ahora defina $h:X\to Y\times\Bbb R$ al establecer $h(x)=h_r(x)$ si $x\in X_r$ ya que $X$ es la unión disjunta, para cada $x\in X$ hay un único $r\in\Bbb R$ tal que $x\in X_r$ Así que $h$ está bien definida. (Como conjunto de pares ordenados $h=\bigcup_{r\in\Bbb R}h_r$ .) Ahora comprueba que $h$ es un homeomorfismo.
En términos más intuitivos, para cada $y\in Y$ el conjunto $\{y\}\times\Bbb R$ es un subconjunto cerrado de $Y\times\Bbb R$ y es homeomorfo a $\Bbb R$ . Del mismo modo, para cada $r\in\Bbb R$ el conjunto $X_r$ es un subconjunto cerrado de $X$ que es homeomorfo a $\Bbb R$ . Así, cada uno de $X$ y $Y\times\Bbb R$ es en efecto la unión disjunta de $|\Bbb R|=|Y|$ copias de $\Bbb R$ .
mrseaman
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161
Su unión disjunta incontable debe tener exactamente $c = |\mathbb{R}|$ sumandos. Yo lo visualizaría como el plano $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ pensada como la unión disjunta de $c$ líneas verticales. Demos a cada línea vertical la topología habitual y aceptemos como abierta cualquier unión de conjuntos abiertos verticales. Se puede ver esto como el producto de $\mathbb{R}$ con la topología discreta y $\mathbb{R}$ con la topología habitual o como la unión disjunta de los $c$ líneas verticales cada una de las cuales es homeomorfa a $\mathbb{R}$ .
