Integral beta de alta dimensión (una errata en el libro de Stein "integrales singulares")

Question

Hola,

Cuando leí el libro de Stein de Integrales singulares En la página 118, hay un error evidente:

$$ \int_{R^n} |x-y|^{-n+\alpha} |y|^{-n+\beta}=\frac{\gamma(\alpha)\gamma(\beta)}{\gamma(\alpha+\beta)},\quad 0<\alpha, 0<\beta, $$ con $\alpha+\beta < n$ y $$ \gamma(a) = \pi^{n/2} 2^a \frac{\Gamma(a/2)}{\Gamma((n-a)/2)}. $$

Claramente, en un caso unidimensional, $$ \int_{0}^1 |1-y|^{-1+\alpha} |y|^{-1+\beta}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)},\quad 0<\alpha, 0<\beta, $$ con $\alpha+\beta < 1$ ;ver wikipedia . Sin embargo, $$ \int_{R^1} |1-y|^{-1+\alpha} |y|^{-1+\beta}= \infty. $$ Así que necesitamos reducir adecuadamente el dominio de la integral de $R^n$ a unas pelotas. ¿Alguien conoce este dominio de integración correcto?

¡Muchas gracias!

Anand

EDITAR:

(1) ¿Alguien conoce una errata en línea de este libro?

(2) aquí está la siguiente pregunta de este post.

Answer 1

¿Cómo es esa integral infinita? Si $x\neq 0$ entonces la función es localmente integrable cerca de $y=x$ y localmente integrable cerca de $y=0$ y es integrable en $\infty$ ya que el integrando se comporta como $|y|^{-2+\alpha+\beta}$ que decae como $y^{1+\epsilon}$ . Así que la integral no es infinita a menos que $x=0$ .

También está la cuestión de que la integral depende claramente de $x$ mientras que el lado derecho no. Creo que la errata es que $x$ debe ser 1.

Si uno escribe cuidadosamente la identidad $I_\alpha(I_\beta(f))(z)=I_{\alpha+\beta}(f)(z)$ y establece $z=0$ se encuentra que

$\displaystyle{\int\left(\int |x-y|^{-n+\alpha}|y|^{-n+\beta}dy\right)f(x)dx=\int\left(\frac{\gamma(\alpha)\gamma(\beta)}{\gamma(\alpha+\beta)}|x|^{-n+\alpha+\beta}\right)f(x)dx}$ .

Dado que esto es válido para cualquier función de Schwartz $f$ debe ser que las dos funciones entre paréntesis son iguales. Así, en particular para $x=1$ , se obtiene la identidad (corregida) en el libro de Stein.

Answer 2

Gracias a Peter Luthy por su respuesta. He aquí una consecuencia interesante:

$$ \int_{|y|>1}|1-y|^{-1+\alpha}|y|^{-1+\beta} d y = \int_{R}|1-y|^{-1+\alpha}|y|^{-1+\beta} d y - \int_{|y|<1}|1-y|^{-1+\alpha}|y|^{-1+\beta} d y $$

que da

$$ \int_{|y|>1}|1-y|^{-1+\alpha}|y|^{-1+\beta} d y = \left(\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1-\alpha-\beta}{2})}{\Gamma(\frac{1-\alpha}{2})\Gamma(\frac{1-\beta}{2})}-1\right) \frac{\Gamma(\frac{\alpha}{2})\Gamma(\frac{\beta}{2})}{\Gamma(\frac{\alpha+\beta}{2})}\:. $$