Desde que identificó el movimiento de $H_1$ Supongo que entiendes las dos ecuaciones que has dado. La tercera es $t = -H$ . Tres integrales, tres grados de libertad, por lo que este sistema es integrable, y estable, en la terminología de J. Moser. Es un sistema modelo que Arnold establece para perturbarlo y mostrar el comportamiento de un sistema casi integrable cercano. Voy a suponer que esta tercera integral es la que no se ve y que muestra que el sistema miente para cada $\epsilon$ en un 2-toro en el 3-toro de todo el sistema, como has dicho, para la mayoría de los valores envuelve ese toro densamente (irracional $\omega$ ). Si te refieres a Arnold, la forma en que consiguió esto es que lo creó así como punto de partida, utilizando el péndulo que señalaste correctamente. Es un sistema modelo.
Lo que va a hacer a continuación es perturbarlo. El Hamiltoniano completo es $$ H=1/2(I_1^2 + I_2^2) + \epsilon (\cos\phi_1 - 1)(1 + \mu\sin\phi_2 + \mu\cos t). $$
Como $\mu$ se aleja de cero, las órbitas regulares se rompen creando anillos de puntos periódicos estables e inestables, empezando por los que tienen las expansiones de fracciones continuas más espaciadas, hasta llegar a los menos (que es la órbita irracional media áurea). Resulta la misma maraña homoclínica que en el teorema de KAM, con una gran diferencia respecto a un sistema de 2 grados de libertad: Las órbitas estables ya no las separan unas de otras (no hay teorema de la curva de Jordan en 3 dimensiones, esencialmente). Este es el objetivo del artículo de Arnold.
Creo que ayudaría si mirara sus trabajos y los de sus colegas en orden cronológico y recordara lo que se sabe y lo que no se sabe por lo tanto cuando hace el trabajo, sobre todo porque los trabajos de Arnold, a diferencia de sus libros, no son fáciles de pasar porque no fueron revisados por claridad sólo por corrección.
Cuando escribe este artículo, la primera versión del teorema de KAM está hecha, la naturaleza de la maraña homoclínica es todavía una conjetura, aunque se remonta a los dibujos de Poincare. Lo que viene después es el teorema de la torsión de Moser, y la prueba de Emil Zehnder de que las órbitas se enredan efectivamente y forman órbitas homoclínicas y heteroclínicas, y la prueba de Smale de cómo es eso (el artículo de las Playas de Brasil), y finalmente un Holmes y Marsden que muestra que la difusión de Arnold ocurre realmente en un sistema específico.
Espero que esto ayude. Algunas fuentes que puedes consultar son J. Moser, Movimientos estables y aleatorios en sistemas dinámicos, Lichtenberg y Lieberman, Movimiento regular y estocástico, y Abraham y Marsden, Fundamentos de la mecánica. El primero es una exposición muy clara de gran parte de la teoría subyacente para estos sistemas KAM, el segundo tiene una discusión de esta ecuación en el capítulo 6, y el tercero tiene imágenes bellamente representadas de cómo es el sistema que está trabajando en las páginas 584-5. Además, en el libro de Arnold Métodos matemáticos en mecánica clásica, En la sección 51, capítulo 10, explica detalladamente el enrollamiento alrededor de los tori.
