Encuentra las soluciones en números primos de la siguiente ecuación: $p^4+q^4+r^4+119=s^2$

Question

Encuentre las soluciones en números primos de la siguiente ecuación: $$p^4+q^4+r^4+119=s^2$$ No soy capaz de hacer nada con este problema y no sé por dónde debo empezar.

Encontré los cuadrados de los números primos después de $119$ y luego calculó $s^2-119$ y comprobar si la suma de tres primos cuadrados diferentes es igual a $s^2-119$ .

Después de esto, no soy capaz de hacer nada. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

La ecuación a resolver para que todas las variables sean números primos es

$$p^4 + q^4 + r^4 + 119 = s^2 \tag{1}\label{eq1A}$$

Por simetría, WLOG deja que $p \le q \le r$ . Si todos los $p$ , $q$ y $r$ son primos Impares, entonces el lado izquierdo sería par, pero $s \gt 2$ por lo que no es posible. Por lo tanto, $p = 2$ Así que \eqref {eq1A} sería entonces

$$q^4 + r^4 + 135 = s^2 \tag{2}\label{eq2A}$$

Si ninguno de los dos $q$ ni $r$ son $3$ entonces $q^4 \equiv r^4 \equiv 1 \pmod{3}$ , por lo que el lado izquierdo sería congruente con $2$ modulo $3$ pero $s \gt 3$ Así que $s^2 \equiv 1 \pmod{3}$ . Esto significa que $q = 3$ con \eqref {eq2A} entonces se convierte en

$$r^4 + 216 = s^2 \tag{3}\label{eq3A}$$

Podríamos movernos $r^4$ al lado derecho para obtener una diferencia de cuadrados & factor, es decir $(s - r^2)(s + r^2)$ y luego utilizar los factores de $216 = 2^3(3^3)$ . Sin embargo, como Jorge La pregunta del Sr. G. de la Cruz es la siguiente comentario sugiere, es más sencillo y fácil comprobar el módulo $5$ en su lugar. Desde $r \not\equiv 0 \pmod{5} \; \to \; r^4 \equiv 1 \pmod{5}$ el lado izquierdo sería congruente con $2$ modulo $5$ . Sin embargo, todos los cuadrados son congruentes con $0$ , $1$ o $4$ modulo $5$ por lo que no es posible. Por lo tanto, $r = 5$ y \eqref {eq3A} es entonces

$$841 = s^2 \; \; \to \; \; s = 29 \tag{4}\label{eq4A}$$

Esto significa que $p$ , $q$ y $r$ son $2$ , $3$ y $5$ en algún orden, y $s = 29$ .

Answer 2

Si ninguna de p,q,r es divisible por 5, entonces $s^2\equiv 2\pmod5$
contradicción
por lo que al menos uno de p,q,r es divisible por 5
si ninguna de p,q,r es divisible por 3, entonces $s^2\equiv 2\pmod3$
contradicción
por lo que al menos uno de p,q,r es divisible por 3
si ninguna de p,q,r es divisible por 2, entonces s es par, s=2
contradicción
por lo que al menos uno de p,q,r es divisible por 2
$\{p,q,r\}=\{2,3,5\}\implies s=29$