Dejemos que $k[0,)$ sea un número real. Definir
$f_k(t)$ = $t^k$ sin( $1/t$ ) ,si $t0$ y $0$ si $t=0$ . Sea $A$ ={ $k[0,) : f_k$ es diferenciable} . entonces $A$ =?
No estoy seguro de cómo resolver este problema, ¿alguien puede ayudarme?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una pista: La función $f_k(t)=t^k\sin(1/t)$ será diferenciable para todo $k\geq 0$ cuando $t>0$ Así que el único problema potencial es $t=0$ . En ese momento, utiliza la definición de la derivada. $$f_k^{'}(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{k}\sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h}.$$ Así que para qué $k$ hace $$\lim_{h\rightarrow0}h^{k-1}\sin\left(\frac{1}{h}\right)$$ ¿Existe?
Nota: Estoy asumiendo que $f_k:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ y que no definimos $f_k$ en los enteros negativos. Esto se debe a que, como señala André Nicolas, para los enteros negativos $t$ no hay una definición clara de eso $t^k$ significa para cada $k$ .
