Supongamos que buscamos para evaluar
$$F(p) = \sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{\pi n}-1}
- 16^p \sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{4\pi n}-1}.$$
Estas sumas podrán ser evaluadas
el uso armónico de la sumación de las técnicas.
Introducir la suma
$$S(x; p) = \sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{nx}-1}$$
con $p$ un entero positivo y $x\ge 0.$
La suma plazo es armónico y puede ser evaluado por la inversión de sus Mellin
transformar.
Recordar que el armónico suma de identidad
$$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) =
\left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$
donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$
En el presente caso tenemos
$$\lambda_k = k^{4p-1}, \quad \mu_k = k
\quad \text{y} \quad
g(x) = \frac{1}{e^x-1}.$$
Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ que es
$$\int_0^\infty \frac{1}{e^{x}-1} x^{m-1} dx
= \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} x^{m-1} dx
\\ = \int_0^\infty \sum_{q\ge 1} e^{-q x} x^{m-1} dx
= \sum_{q\ge 1} \int_0^\infty e^{-q x} x^{m-1} dx
\\= \Gamma(s) \sum_{q\ge 1} \frac{1}{q^s}
= \Gamma(s) \zeta(s).$$
De ello se desprende que la Mellin transformar $Q(s)$ de la suma de armónicos
$S(x,p)$ está dado por
$$Q(s) = \Gamma(s) \zeta(s) \zeta(s-(4p-1))
\\ \text{porque}\quad
\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} =
\sum_{k\ge 1} k^{4p-1} \frac{1}{k^s}
= \zeta(s-(4p-1))$$
para $\Re(s) > 4p.$
El Mellin de inversión integral aquí es
$$\frac{1}{2\pi i} \int_{4p+1/2-i\infty}^{4p+1/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$
de la cual evaluamos desplazando hacia la izquierda para una ampliación sobre
cero.
Los dos zeta función términos cancelar los polos de la función gamma
plazo y nos quedamos con solo
$$\begin{align}
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=4p) & = \Gamma(4p) \zeta(4p)
\quad\text{and}\\
\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=0) & = \zeta(0) \zeta(-(4p-1)).
\end{align}$$
La computación de estos residuos obtenemos
$$- (4p-1)! \frac{B_{4} (2\pi)^{4}}{2(4p)!}
= - \frac{B_{4} (2\pi)^{4}}{2\times 4p}
\quad\text{y}\quad
- \frac{1}{2} \times -\frac{B_{4}}{4}.$$
Esto demuestra que
$$S(x;p) = - \frac{B_{4} (2\pi)^{4}}{8p\veces x^{4}}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ \frac{1}{2\pi i} \int_{-1/2-i\infty}^{-1/2+i\infty} P(s)/x^s ds.$$
Para el tratamiento de la integral recordar la duplicación de la fórmula de la gamma
función:
$$\Gamma(s) =
\frac{1}{\sqrt\pi} 2^{m-1}
\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)
\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right).$$
que los rendimientos de $Q(s)$
$$\frac{1}{\sqrt\pi} 2^{m-1}
\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)
\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right)
\zeta(s) \zeta(s-(4p-1))$$
Además de observar la siguiente variante de la ecuación funcional
de la de Riemann zeta función:
$$\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)
= \pi^{s-1/2} \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)
\zeta(1-s)$$
lo que da de $Q(s)$
$$\frac{1}{\sqrt\pi} 2^{m-1}
\pi^{s-1/2}
\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right)
\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)
\zeta(1-s)\zeta(s-(4p-1))
\\ =
\frac{1}{\sqrt\pi} 2^{m-1}
\pi^{s-1/2}
\frac{\pi}{\sin(\pi(s+1)/2)}
\zeta(1-s)\zeta(s-(4p-1))
\\ =
2^{m-1}
\frac{\pi^s}{\sin(\pi(s+1)/2)}
\zeta(1-s)\zeta(s-(4p-1)).$$
Ahora pon $s=4p-u$ en el resto de la integral para obtener
$$\frac{1}{x^{4}}
\frac{1}{2\pi i} \int_{4p+1/2-i\infty}^{4p+1/2+i\infty}
2^{4p-1-u}
\\ \times \frac{\pi^{4p-u}}{\sin(\pi(4p+1-u)/2)}
\zeta(u-(4p-1))\zeta(1-u) x^u du
\\ = \frac{2^{4} \pi^{4}}{x^{4}}
\frac{1}{2\pi i} \int_{4p+1/2-i\infty}^{4p+1/2+i\infty}
2^{u-1}
\\ \times \frac{\pi^{u}}{\sin(\pi(4p+1-u)/2)}
\zeta(u-(4p-1))\zeta(1-u) (x/\pi^2/2^2)^u du.$$
Ahora, $$\sin(\pi(4p+1-u)/2) = \sin(\pi(1-u)/2+2\pi p)
\\ = \sin(\pi(1-u)/2) = - \sin(\pi(-1-u)/2)
= \sin(\pi(u+1)/2).$$
Hemos demostrado que
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]
{S(x;p) = - \frac{B_{4} (2\pi)^{4}}{8p\veces x^{4}}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ \frac{2^{4} \pi^{4}}{x^{4}} S(4\pi^2/x;p)}.$$
En particular, obtenemos
$$S(\pi;p) = - \frac{B_{4} 2^{4}}{8p}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ 2^{4} S(4\pi;p)$$
y
$$S(4\pi;p) = - \frac{B_{4} 2^{-4p}}{8p}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ 2^{-4p S} (\pi;p).$$
Por lo tanto
$$S(\pi;p)-2^{4}S(4\pi;p) \\ =
- \frac{B_{4} (2^{4}-1)}{8p}
+ \frac{B_{4}}{8p} (1-2^{4})
+ (2^{4} S(4\pi, p)-S(\pi;p)).$$
Nosotros finalmente a la conclusión de que
$$F(p) = \frac{B_{4p}}{4p} (1-2^{4p}) - F(p)$$
o
$${\large\color{verde}{F(p) =
\frac{B_{4}}{8p} (1-2^{4})}}.$$
El primer par de valores se
$$\frac{1}{16},{\frac {17}{32}},{\frac {691}{16}},
{\frac {929569}{64}},{\frac {221930581}{16}},\ldots$$
Podemos usar la ecuación funcional para extraer suma adicional fórmulas.
Por ejemplo, cuando se elige el par
$$\sqrt{2}\pi \quad\text{and}\quad 2\sqrt{2}\pi$$
el escalar es $2^{2p}.$ El cálculo se inicia a partir de
$$S(\sqrt{2}\pi;p) = - \frac{B_{4} 2^{2}}{8p}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ 2^{2} S(2\sqrt{2}\pi;p)$$
y
$$S(2\sqrt{2}\pi;p) = - \frac{B_{4} 2^{-2}}{8p}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ 2^{-2} S(\sqrt{2}\pi;p).$$
Por lo tanto
$$S(\sqrt{2}\pi;p)-2^{2}S(2\sqrt{2}\pi;p) \\ =
- \frac{B_{4} (2^{2}-1)}{8p}
+ \frac{B_{4}}{8p} (1-2^{2})
+ (2^{2} S(2\sqrt{2}\pi, p)-S(\sqrt{2}\pi;p)).$$
Obtenemos la fórmula
$$\sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{\sqrt{2}\pi n}-1}
- 4^p \sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{2\sqrt{2}\pi n}-1}
= \frac{B_{4}}{8p} (1-2^{2}).$$
Obtenemos los valores iniciales (factor es $1+2^{2p}$)
$${\frac {1}{80}},\frac{1}{32},{\frac {691}{1040}},
{\frac {3617}{64}},{\frac {5412941}{400}},\ldots$$
Adenda. Para ilustrar la creación de identidades a partir de la
funcional de la ecuación se presenta un tercer ejemplo, que es
$$\sqrt{3}\pi\quad\text{and}\quad 4\pi/\sqrt{3}.$$
En este ejemplo, el escalar es $2^{4p} 3^{-2p}.$
El cálculo se inicia a partir de
$$S(\sqrt{3}\pi;p) = - \frac{B_{4} 2^{4}}{8p\times 3^{2}}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ \frac{2^{4}}{3^{2}} S(4\pi/\sqrt{3};p)$$
y
$$S(4\pi/\sqrt{3};p) = - \frac{B_{4} 3^{2}}{8p\times 2^{4}}
+ \frac{B_{4}}{8p}
+ \frac{3^{2}}{2^{4}} S(\sqrt{3}\pi;p).$$
Por lo tanto
$$S(\sqrt{3}\pi;p)-2^{4} 3^{-2} S(4\pi/\sqrt{3};p) \\ =
- \frac{B_{4} (2^{4} 3^{-2}-1)}{8p}
+ \frac{B_{4}}{8p} (1-2^{4} 3^{-2})
+ (2^{4} 3^{-2} S(\sqrt{3}\pi, p)-S(4\pi/\sqrt{3};p)).$$
Obtenemos la fórmula
$$\sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{n \sqrt{3}\pi}-1}
- 2^{4} 3^{-2p}
\sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{n 4\pi/\sqrt{3}}-1}
= \frac{B_{4}}{8p} (1-2^{4} 3^{-2}).$$
El lector está cordialmente invitado a probar este último resultado por un
método diferente.
Observación. El patrón general para
$$\beta\quad\text{and}\quad 4\pi^2/\beta$$
es
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]
{\sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{n \beta}-1}
- \frac{2^{4}\pi^{4}}{\beta^{4}}
\sum_{n\ge 1} \frac{n^{4p-1}}{e^{n 4\pi^2/\beta}-1}
= \frac{B_{4}}{8p}
\left(1-\frac{2^{4}\pi^{4}}{\beta^{4}}\right).}$$
