¿Pueden ayudarme con esta desigualdad? $|x-1| < |x-3|$

Question

Encontré este problema en Precalculus 7th ed, James Stewart, capítulo 1.8, problema 128.

"Recordemos que $ |a-b| $ es la distancia entre a y b en la recta numérica. Para cualquier número x, ¿qué $|x-1|$ y $|x-3|$ representar? Utiliza esta interpretación para resolver la desigualdad $|x-1| < |x-3|$ geométricamente. En general, si a < b, cuál es la solución de la desigualdad $|x-a| < |x-b|$ ? "

*Sé que $|x-1|$ es la distancia entre x y 1, y geométricamente, si $x = 2$ la distancia entre 1 y x es igual a la distancia entre 3 y x, en este punto podemos ver que para $ x < 2 $ la distancia entre x y 3 es mayor que la distancia entre x y 1. Quería comprobar esta solución usando la manera formal de resolver esta desigualdad, así que escribí la siguiente solución, pero no pude comprobarla porque, aparentemente, hice algo mal y no puedo averiguar qué estaba mal.

$|x-1| < |x-3|$

$-|x-3| < x-1 < |x-3|$

$-|x-3| < x-1 \land x-1 < |x-3|$

$(-x+1 < x-3 < x-1) \land (x-1 < x-3 \lor x-1 > -x+3)$

$(-x+1 < x-3 \land x-3 < x-1) \land (x-1 < x-3 \lor x-1 > -x+3)$

$(4 < 2x \land -3 <-1) \land (-1 < -3 \lor 2x > 4)$

$(2 < x \land -3 <-1) \land (-1 < -3 \lor x > 2)$

Mi pregunta es qué hice mal? y cómo mejorar mi solución formal, Muchas gracias de antemano por tomarse el tiempo de leer esto.

EDIT: En primer lugar, gracias a todos por sus respuestas, ahora puedo ver varias formas de resolver este problema. En cuanto a mi solución "engorroso" Sr. @AnuragA señaló mi error y ahora vine con esta nueva solución, espero que ahora está bien, Gracias de nuevo, y si se puede señalar cualquier error en esta nueva solución se lo agradeceré.

$|x-1| < |x-3|$

$-|x-3| < x-1 < |x-3|$

$[|x-3| > -x+1] \land [x-1 < |x-3|]$

$[x-3 > -x + 1 \lor -x + 1 < -(x-3)]\land[x-3>x-1 \lor x-1<-(x-3)] $

$[2x > 4 \lor 1 < 3]\land[-3>-1 \lor 2x<4] $

$[x >2 \lor \{ x \in \Bbb R \Bbb \}]\land[\{ x \in \emptyset \} \lor x<2] $

$[ x \in \Bbb R \Bbb ]\land[ x<2] $

$x<2$

Answer 1

Podemos ver visualmente la respuesta a esta pregunta y utilizar los conocimientos de geometría.

Answer 2

La desigualdad representa el conjunto de todos los puntos $x$ en el eje real cuyas diversas distancias de $1$ es menor que las distancias correspondientes de $3.$

Eleva al cuadrado ambos lados, y transpóngalos, para obtener $$(x-1)^2-(x-3)^2<0.$$ Los factores del LHS como $(x-1-x+3)(x-1+x-3)=2(2x-4).$ Así, la desigualdad se reduce a $$x-2<0,$$ que nos dice que el conjunto es el conjunto de puntos a la izquierda de $2$ en el eje real como se orienta habitualmente.

Answer 3

Sugerencia

El lugar de los puntos que equidistan de $A$ y $B$ viene dada por la bisectriz perpendicular de $A$ y $B$ . Dado que el punto equidistante tiene que estar en la recta real, ¿qué puedes concluir?

Answer 4

Set: $y:=x-1$ ;

Entonces: $|y| <|y-2|$ ;

Línea de números reales:

Distancia de un punto $y$ al origen es menor que la distancia de $y$ a $2$ .

(Nota: $y=1$ es equidistante de $0$ y $2$ )

De ahí que..:

$y < 1$ o $ x-1<1$ y finalmente $x<2$ .

Answer 5

Si sabes dibujar funciones de valor absoluto, resolver este tipo de problemas es muy fácil:

Si quiere resolver $|x-1| < |x-3|$ sólo tienes que decir en qué intervalo la línea azul está por encima de la línea verde. Así que puedes decir que la respuesta es $\langle-\infty;2\rangle$

yendo más allá:

El otro tipo de ecuación es $|x-1| \ge |x-3|$ Pero esto se puede resolver simplemente tomando un complemento:

Si $S$ es el conjunto de soluciones de $|x-1| \ge |x-3|$ entonces $S^c$ es el conjunto de soluciones de $|x-1| < |x-3|$ (y este es el problema más fácil)