Encontré este problema en Precalculus 7th ed, James Stewart, capítulo 1.8, problema 128.
"Recordemos que $ |a-b| $ es la distancia entre a y b en la recta numérica. Para cualquier número x, ¿qué $|x-1|$ y $|x-3|$ representar? Utiliza esta interpretación para resolver la desigualdad $|x-1| < |x-3|$ geométricamente. En general, si a < b, cuál es la solución de la desigualdad $|x-a| < |x-b|$ ? "
*Sé que $|x-1|$ es la distancia entre x y 1, y geométricamente, si $x = 2$ la distancia entre 1 y x es igual a la distancia entre 3 y x, en este punto podemos ver que para $ x < 2 $ la distancia entre x y 3 es mayor que la distancia entre x y 1. Quería comprobar esta solución usando la manera formal de resolver esta desigualdad, así que escribí la siguiente solución, pero no pude comprobarla porque, aparentemente, hice algo mal y no puedo averiguar qué estaba mal.
$|x-1| < |x-3|$
$-|x-3| < x-1 < |x-3|$
$-|x-3| < x-1 \land x-1 < |x-3|$
$(-x+1 < x-3 < x-1) \land (x-1 < x-3 \lor x-1 > -x+3)$
$(-x+1 < x-3 \land x-3 < x-1) \land (x-1 < x-3 \lor x-1 > -x+3)$
$(4 < 2x \land -3 <-1) \land (-1 < -3 \lor 2x > 4)$
$(2 < x \land -3 <-1) \land (-1 < -3 \lor x > 2)$
Mi pregunta es qué hice mal? y cómo mejorar mi solución formal, Muchas gracias de antemano por tomarse el tiempo de leer esto.
EDIT: En primer lugar, gracias a todos por sus respuestas, ahora puedo ver varias formas de resolver este problema. En cuanto a mi solución "engorroso" Sr. @AnuragA señaló mi error y ahora vine con esta nueva solución, espero que ahora está bien, Gracias de nuevo, y si se puede señalar cualquier error en esta nueva solución se lo agradeceré.
$|x-1| < |x-3|$
$-|x-3| < x-1 < |x-3|$
$[|x-3| > -x+1] \land [x-1 < |x-3|]$
$[x-3 > -x + 1 \lor -x + 1 < -(x-3)]\land[x-3>x-1 \lor x-1<-(x-3)] $
$[2x > 4 \lor 1 < 3]\land[-3>-1 \lor 2x<4] $
$[x >2 \lor \{ x \in \Bbb R \Bbb \}]\land[\{ x \in \emptyset \} \lor x<2] $
$[ x \in \Bbb R \Bbb ]\land[ x<2] $
$x<2$
