¿Cómo puedo demostrar que $\alpha$ es la forma exacta en $S^1$ si $\int_{S^1} \alpha =0$ ?
He utilizado el teorema de Stokes para demostrar una dirección. ¿Podría ayudarme en la otra dirección?
Respuesta
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Un formulario $\alpha$ es exacta si existe una función $f:S^1\to\mathbb R$ tal que $\alpha=df$ .
Si ese es el caso, entonces $\int_{S^1}\alpha=\int_{S^1}df=\int_{\partial S^1}f=0$ por el teorema de Stokes.
Por el contrario, supongamos que $\int_{S^1}\alpha=0$ . Definir una función $f:S^1\to\mathbb R$ para que $f(\theta)=\int_1^\theta\alpha$ Aquí la integral se toma a lo largo del segmento que va de $1$ a $\theta\in S^1$ en la dirección positiva (estoy viendo $S^1$ como el círculo unitario en $\mathbb C$ ) Esta función $f$ está bien definida exactamente por nuestra hipótesis sobre $\alpha$ y se puede comprobar fácilmente que $df=\alpha$ .
