¿Cambió el resultado de la paradoja del hotel Hilbert después de la prueba $\mathfrak p=\mathfrak t$ ?

Question

Hemos visto preguntas como ¿Cuál es el resultado de $\infty-\infty$ ? en 2011 y el resultado fue que es indeterminado. Me parece que el ejemplo de $\infty-\infty=7$ absolutamente convincente.

Ahora (2016; llego tarde a la fiesta) tenemos la prueba de que $\mathfrak p=\mathfrak t$ es decir, que los diferentes infinitos son en realidad el mismo. ¿Cambia eso el resultado del hotel Hilbert de $\infty-\infty=7$ (o cualquier cosa) al resultado único $\infty-\infty=0$ ?

Si es posible, por favor, explíquelo con palabras sencillas como la respuesta enlazada, que fue perfecta para mí.

Answer 1

No, $\mathfrak{p}$ y $\mathfrak{t}$ son dos infinitos específicos que son en algún sentido (posiblemente) mayores que el infinito denotado como $\infty$ en esa pregunta.

Su pregunta tiene tanto sentido como: "Tenía dos bolsas diferentes de piedras, y lo he comprobado, y resulta que las dos bolsas contienen en realidad el mismo número de piedras. ¿Significa eso algo sobre esta tercera bolsa de piedras que acabo de encontrar?". Creo que esta analogía es engañosamente buena, ya que $\mathfrak{p}$ y $\mathfrak{t}$ son cardenales que no son más que una generalización de lo que normalmente entendemos por "número de cosas en una cosa"; dos conjuntos tienen el mismo cardinalidad si hay alguna forma de hacer coincidir los elementos uno a uno sin que falte ningún elemento en ninguno de los lados.

Tengo la firme sospecha de que a su modelo mental le falta una pieza muy grande, a saber, el hecho de que hay (¡infinitamente!) muchos cardenales : $\mathbb{N}$ es estrictamente menor que $\mathbb{R}$ (busque el argumento diagonal de Cantor, por ejemplo).

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En realidad voy a hacer una digresión y dar mi argumento favorito que $\mathbb{R}$ es incontable, se convierte en http://people.math.gatech.edu/~mbaker/pdf/realgame.pdf :

Alice y Bob juegan a un juego. Alice empieza en el 0, Bob empieza en el 1, y se alternan por turnos (empezando por Alice), cada uno escogiendo un número entre los números actuales de Alice y Bob. (Así que empieza con $A:0$ , $B:1$ entonces $A:0.5$ , $B:0.75$ , $A:0.6$ , $\dots$ es un ejemplo del inicio de una secuencia válida de jugadas). Fijamos un subconjunto $S$ de $[0,1]$ por adelantado, y Alicia ganará si al final de todo el tiempo la secuencia de números que ha elegido converge a un número en $S$ Bob gana en caso contrario. (La secuencia de Alice sí converge: es creciente y está acotada por $1$ .)

Es obvio que si $S = [0,1]$ entonces Alice gana sin importar la estrategia que utilice cualquiera de ellos: una secuencia convergente extraída de $[0,1]$ debe converger a algo en $[0,1]$ .

Además, si $S = \{s_1, s_2, \dots\}$ se pueden emparejar uno a uno con $\mathbb{N}$ (es decir, $S$ es contable donde acabo de escribir una coincidencia de $S$ con $\mathbb{N}$ ) entonces Bob tiene una estrategia ganadora: en la jugada $n$ , elige $s_n$ si es posible, y si no, hacer cualquier movimiento legal. (Piensa durante un par de minutos para ver por qué esto es cierto: si Bob no pudiera elegir $s_n$ en el momento $n$ Entonces, o bien Alice ya ha escogido un número mayor, en cuyo caso no puede volver a bajar cerca de $s_n$ de nuevo, o Bob ya ha elegido un número $b$ que es más pequeño, en cuyo caso se le bloquea el acceso a $s_n$ porque no puede pasar $b$ .)

Así que si $[0,1]$ es contable, entonces Alice debe ganar sin importar lo que haga cualquiera de ellos, pero Bob tiene una estrategia ganadora; contradicción.

Answer 2

Hay diferentes tipos de "tamaños" que puede tener una colección de elementos. Los tres principales son la ordinalidad, la cardinalidad y la medida. La base del Hotel Hilbert es que diferentes ordinalidades tienen la misma cardinalidad (dos colecciones pueden tener la misma cardinalidad pero diferente ordinalidad, pero si tienen la misma ordinalidad, tienen la misma cardinalidad). He dicho "colección" en lugar de "conjunto" porque sólo tenemos ordinalidades cuando el orden importa. Para un conjunto, donde el orden no importa, sólo tenemos cardinalidad.

La ordenación original del hotel es $\omega$ . Podemos pensar que trasladar a la persona de la sala 1 a la sala 2, a la persona de la sala 2 a la sala 3, etc. es también $\omega$ . Si después de eso llega una persona más, entonces es $\omega+1$ que es una ordinalidad diferente de $\omega$ . Pero como se trata de la misma cardinalidad, todavía podemos encajar a todos. Es decir, "tomar un número infinito de personas" y "tomar un número infinito de personas, y luego siete más" dan el "mismo" número de personas desde el punto de vista de la cardinalidad, porque simplemente están en un orden diferente. Pero son ordinalidades diferentes, porque, como señala la respuesta a la otra pregunta, cuando quitamos la primera de la segunda, nos sobran siete.

Si tenemos un número infinito de grupos, cada grupo contiene un número infinito de personas, que tiene una cardinalidad de $\omega*\omega$ o $\omega^2$ . Tiene la misma cardinalidad que $\omega$ Así que hay una estrategia para llevarlos al hotel. También hay una estrategia para $\omega^3$ y otro para $\omega^4$ etc. Para cualquier finito particular $n$ Hay alguna estrategia para conseguir $\omega^n$ personas en el hotel. Sin embargo, no hay una estrategia que funcione para todos los $n$ porque el conjunto de todos los $\omega^n$ tiene una cardinalidad mayor que $\omega$ (es decir, $\omega+\omega^2+\omega^3+...$ tiene una cardinalidad mayor que $\omega$ ).

Podemos conseguir $\infty-\infty=7$ tomando la primera $\infty$ para ser $\omega+7$ y el segundo que sea $\omega$ . Cuando los "restamos" (la resta no está realmente definida, así que estoy hablando de forma imprecisa), obtenemos $7$ . Si $\infty$ se entiende como una cardinalidad, entonces como podemos tomar un montón de ordinalidades diferentes para una cardinalidad particular, tenemos una amplia elección como lo que la "diferencia" de $\infty-\infty$ es. Si $\infty$ se entiende como una ordinalidad, sin embargo, entonces la diferencia es un número particular, o incoherente.

La cardinalidad de $\mathbb R$ es mayor que la cardinalidad de $\mathbb N$ por lo que no hay forma de ordenar los elementos de $\mathbb R$ de manera que podamos "restar" $\mathbb N$ y obtener $0$ .