¿Cálculo de la estructura de la terminación de grupo de un monoid abelian, lo difícil puede ser?

Question

Cherry Kearton, Bayer-Fluckiger y otros tienen resultados que dicen que el monoid de clases de isotopía de suave orientada incrustaciones de $S^n$ $S^{n+2}$ no conmutativa monoid proporcionado $n \geq 3$. El monoid estructura de la que me estoy refiriendo es el de conectar la suma de los nudos.

Bayer-Fluckiger tiene un resultado en particular que dice que usted puede satisfacer estas ecuaciones $$a+b=a+c, \ \ \ \ b \neq c$$ donde $a,b,c$ son clases de isotopía de nudos y $+$ es conectar suma.

Al $n=1$ es una vieja resultado de Horst, de Schubert que el monoid de los nudos es libre conmutativa en countably-una cantidad infinita de generadores.

Lo que me pregunto es, ¿alguien tiene una idea de lo difícil que puede ser para el cálculo de la estructura del grupo de la finalización de la monoid de nudos, dicen, por $n \geq 3$? Eso no es realmente mi pregunta para el foro, aunque.

Es esta: ¿la gente tiene buenos ejemplos donde es "fácil" para calcular el grupo de finalización de un conmutativa monoid, pero para los que la monoid en sí es todavía más misterioso? Significado, donde en lugar de cantidades mínimas de información son necesarios para calcular el grupo de finalización? Presumiblemente hay ejemplos en los que es muy difícil decir algo sobre el grupo de finalización? Por ejemplo, puede ser difícil decir si hay torsión en el grupo de finalización?

Answer 1

¿La gente tiene buenos ejemplos donde es "fácil" para calcular el grupo de finalización de un conmutativa monoid, pero para los que la monoid en sí es todavía más misterioso?

Esto sucede todo el tiempo en la K-teoría de la $K^0(X)$, tanto algebraicas y topológicas. Quizá incluso es la razón de que la K-teoría es una herramienta útil.

Para una llamativa algebraicas ejemplo, tome $X = \mathbb{A}^n_k$ donde $k$ es un campo. A continuación, $K^0(X)$ es el grupo de la finalización de la propiedad conmutativa monoid $M$ de isomorfismo clases de finitely generado proyectivas de los módulos a través de $R = k[x_1, \ldots, x_n]$. En 1955 Serre preguntó si cada módulo era libre, es decir, si $M = \mathbb{N}$. Esta pregunta se hizo conocido como Serre de la conjetura. Serre demostrado en 1957 que cada finitely generado proyectiva $R$-módulo es estable libre, es decir, $K^0(X) = \mathbb{Z}$. Sin embargo, no fue hasta 1976 que Quillen y Suslin de forma independiente demostró Serre original de la conjetura. Así que, entre 1957 y 1976, $M$ fue un ejemplo de un conmutativa monoid cuyo grupo de finalización de la era conocido pero que en sí no era conocida. Este es sólo un ejemplo histórico, debido a que $M = \mathbb{N}$ resulta ser muy simple; sin embargo, ilustra la dificultad de la pregunta en general.

Un topológico ejemplo donde la conmutativa monoid no es tan simple está dada por $KO^0(S^n)$. Tomemos $n$ congruente a 3, 5, 6, o 7 modulo 8, por lo que el $KO^0(S^n) = \mathbb{Z}$ por Bott periodicidad (el generador de ser dada por el trivial de una dimensión real del vector paquete). Deje $T$ ser la tangente paquete a $S^n$. En $KO^0(S^n)$, por supuesto, la clase de $T$ es igual a su dimensión $n$. Pero si dejamos $M$ ser la conmutativa monoid de isomorfismo clases de finito-dimensional real del vector de paquetes en $S^n$ (de modo que $KO^0(S^n)$ es el grupo de la finalización de $M$), a continuación, la clase de $T$ no es igual a la clase de la trivial $n$-dimensiones del vector paquete a menos que $S^n$ es parallelizable, que sólo sucede cuando se $n$ es igual a (0 o 1 o 3 o 7. Así que para todos los demás valores de $n$, $M$ no es simplemente $\mathbb{N}$; hay más de vector de paquetes que son asesinados por el grupo el proceso de terminación. La comprensión de estos monoids $M$ todos los $n$ equivale a la comprensión de la homotopy grupos de todos los grupos de $O(m)$, que espero que no sea mucho más fácil de entender inestable homotopy grupos de esferas.

Finalmente, Pete ejemplo de la monoid de cardinalidades de en la mayoría de los conjuntos contables y su absorción elemento también hace una aparición en la K-teoría; aquí se denomina la Eilenberg estafa y explica por qué nos limitamos a finitely generado módulos proyectivos.

Answer 2

Este ejemplo es similar de Reid: si $G$ es un grupo finito, entonces $K^0(G-\mathrm{rep})$ a las funciones de clase en $G$. Pero la pregunta de si una función de clase específica es el carácter de una representación, o sólo de una representación virtual, puede ser muy difícil. En un sentido, Mark Haiman tuvo tenencia en Berkeley para demostrar que ciertas funciones de clase en $S_n$ fueron personajes.

Answer 3

Un ultra-ejemplo clásico: el fracaso de la única factorización algebraica número de campos. Aquí uno se ve en la multiplicativo monoid de cero algebraica de números enteros en un determinado campo de la extensión de $\mathbb Q$. Factorizando unidades da un cociente monoid $M$, y esto es gratis (abelian) en los elementos irreductibles exactamente cuando la única factorización posee propiedad. El monoid $M$ se integra en el grupo ideal, la libre abelian grupo generado por el primer ideales, y el grupo de finalización de $M$ es el finito-índice de subgrupo del grupo ideal generado por los principales ideales. Este subgrupo también es gratuita, pero sin una base canónica. Uno puede pensar de este subgrupo como un poco sesgada de celosía en el grupo ideal, y $M$ es la intersección de esta red con la positiva "orthant" de el grupo ideal.

Yo no soy un experto en estas cosas, así que por favor corregir cualquier inexactitud en lo que he dicho anteriormente. Tengo entendido que la estructura de $M$ como monoid puede ser bastante complicado, aunque es un submonoid de un libre monoid. Tal vez esta complejidad es la razón por la monoid estructura parece rara vez se discuten explícitamente. ¿Alguien sabe alguna referencia que describe el monoid estructura?

Answer 4

He aquí un resultado extraño que puede ayudar en el cálculo del grupo de la finalización de un conmutativa monoid.

Deje $M$ ser un conmutativa monoid. Llame a un elemento $h \in M$ alta si para todas las $x \in M$ existe $y \in M$ tal que $h = x + y$. Escribir $H(M)$ para el conjunto de los elementos de $M$.

Ejemplos:

• Si $M$ es un grupo, a continuación, $H(M) = M$ (y a la inversa).
• Cualquier combinación-semilattice (es decir, un poset, en la que cada subconjunto finito tiene al menos un límite superior) puede verse como un conmutativa monoid $M$, con la menor cota superior de dos elementos como $+$ y el menor elemento de a $0$. A continuación, $H(M)$ tiene más de un elemento, que es el mayor elemento en caso de que exista.
• Si $M = \mathbb{N}$, con la costumbre, además, a continuación,$H(M) = \emptyset$.

La proposición Si $H(M) \neq \emptyset$ $H(M)$ es un grupo, bajo la misma operación binaria $+$$M$, pero no necesariamente el mismo cero.

Para una más bien trivial ejemplo de por qué el cero no puede ser el mismo, considere la posibilidad de un trivial unirse-semilattice con un mayor elemento. Para una prueba y no trivial ejemplos, consulte este artículo de Marcelo Fiore y a mí. (La prueba está en la sección 3.)

Ahora:

Teorema $H(M)$ es, si no está vacío, el grupo de finalización de $M$.

¿Cómo funciona esto? Escribir $z$ cero elemento de $H(M)$. Entonces hay una monoid homomorphism $\pi = z + (\ ): M \to H(M)$. No es demasiado duro para demostrar que cada homomorphism de $M$ a un grupo de factores de forma exclusiva a través de $\pi$. De hecho, dado un mapa de $\phi: M \to A$, $A$ un grupo, el mapa correspondiente $\bar{\phi}: H(M) \to A$ es simplemente la restricción de $\phi$.

El teorema sólo ayuda cuando hay al menos un elemento de alta, sin embargo. Hay no trivial en situaciones cuando no hay elementos, como el ejemplo de arriba de $\mathbb{N}$ ilustra.

Answer 5

En un artículo (aquí) con Soren Galatius, se calculan las topológico grupo de terminaciones de ciertos topológico monoids compone de módulos de espacios de superficies con diferentes estructuras. Tomando $\pi_0$ de estas declaraciones se lleva a ejemplos de este grupo de terminaciones de discretos monoids.

Como un ejemplo particular, tomar el discreto monoid $\mathcal{M} := \coprod_{g \geq 0} [\Sigma_{g, 1}, \partial; Y, *] / \Gamma(\Sigma_{g, 1})$. Aquí los corchetes indica el conjunto de homotopy clases de mapas del género $g$ de la superficie con un límite de componente $\Sigma_{g,1}$ a un camino conectado espacio de $Y$ (enviando el límite de la superficie en un punto de base $* \in Y$), y nos cociente este conjunto por la acción de la clase de asignación de grupo de la superficie (rel límite). El monoid estructura es por el par de pantalones de encolado de las superficies. Esto es bastante complicado monoid, pero su grupo de finalización resulta ser $$MTSO(2)_0(Y),$$ el grado cero de parte de una cierta homología de la teoría aplicada al espacio $Y$. (Es la homología de la teoría asociada al espectro que ocurren en el Madsen--Weiss teorema.) En particular, sólo ve $Y$ "estable", por lo que si hacemos algo drástico como plus-construcción $Y$, el grupo de finalización no cambia (pero el monoid sin duda lo hace!).

Así, por ejemplo, si usted toma $Y$ a la esfera de Poincaré (que además de construcciones de a $S^3$), se encuentra que el grupo de finalización es, simplemente, $\mathbb{Z}$ (que siempre está ahí: hay una surjection $\mathcal{M} \to \mathbb{N}$ que envía una superficie a su género). No sé si uno puede ver esto directamente desde el monoid.