¿Es la rotación en $\mathbb R^3$ determinado por la acción sobre un vector unitario?

Question

Diga $X, Y$ pertenecen al SO $(3)$ para que sean rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj en el espacio. Sea $\vec v :=(0,0,1)$ .

Si $X\vec v=Y\vec v$ , entonces se deduce que $X=Y$ ?

Basándome en mi débil intuición geométrica, no estoy seguro de que esto sea cierto. Además de una explicación geométrica de la respuesta, ¿hay una prueba agradable (en un sentido u otro) utilizando las propiedades algebraicas de las matrices ortogonales con determinante uno?

Answer 1

No: imagínate girando un ángulo cualquiera sobre el eje que apunta en la dirección del vector $v$ . Cada una de estas rotaciones fija $v$ . Explícitamente, son las rotaciones dadas por matrices de la forma $$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

Answer 2

No: elija dos rotaciones diferentes en $\mathbb{R}^2$ y tomar los elementos correspondientes de $SO(3)$ que giran el $xy$ plano y fijo $v$ .