¿Por qué se cumple $P\left(\bigcap\limits_{i \geq 1} A_i\right) \geq 1- \sum\limits_{i \geq 1} \alpha_i$?

Question

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega,F,P)$.

Sean $A_1, A_2, ..$ eventos, $A_i\in F$.

Sea $P(A_i) \geq 1-\alpha_i$ donde $i \geq 1$ y $0 \leq \alpha_i \leq 1$.

¿Por qué se cumple lo siguiente?

$$P\left(\bigcap\limits_{i \geq 1} A_i\right) \geq 1- \sum\limits_{i \geq 1} \alpha_i$$

Desde ya muchas gracias :)

EDIT:

Entiendo, por lo tanto:

1. Si $P(A_i) \geq 1-\alpha_i$, entonces $P\left(\overline{A_i}\right) \leq \alpha_i$.
2. entonces $P\left(\bigcup\limits_{i \geq 1} \overline{A_i}\right) \leq \sum\limits_{i \geq 1} P(\overline{A_i}) \leq \sum\limits_{i \geq 1} \alpha_i
3. y dado que $P\left(\overline{\bigcup\limits_{i \geq 1} \overline{A_i}}\right ) = P\left(\bigcap\limits_{i\geq 1} A_i\right)$ se cumple $P\left(\bigcap\limits_{i \geq 1} A_i\right) \geq 1- \sum\limits_{i \geq 1} \alpha_i$?

Answer 1

Comentario (problema para mostrarlo en formato 'comentario'):

Tal vez de forma más compacta, $$P\left(\bigcap_i A_i\right) = 1 -P\left[\left(\bigcap_i A_i\right)^c\;\right] \ge 1 - P\left(\bigcup_i A_i^c\right) \ge 1 - \sum_iP(A_i^c) \ge 1 - \sum_i \alpha_i.$$

Para justificar los pasos: citar la ley del complemento, de Morgan, subaditividad, pistas en comentarios anteriores.