Regularidad del núcleo integral

Question

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto. Si, para todo $\psi \in L^2(\Omega)$ y algún núcleo integral fijo $k \in L^2(\Omega\times \Omega)$ y $\ell>0$ es cierto que ambos $\int_{\Omega} k(\cdot,y) \psi(y)\,dy$ y $\int_{\Omega} k(y,\cdot) \psi(y)\,dy$ sont $H^\ell$ -funciones.

¿Sigue el sombrero $k \in H^\ell(\Omega \times \Omega)?$ Dudo que esto sea cierto, porque la diferenciabilidad por componentes probablemente no debería incluir la diferenciabilidad común. Sin embargo, estoy buscando la mejor regularidad que obtenemos para $k$ con esta propiedad. (Quizá también se puedan establecer propiedades clásicas como la continuidad o la existencia de derivadas parciales).

Answer 1

Los supuestos implican que $k\in H^\ell(\Omega)\hat\otimes L^2(\Omega) \cap L^2(\Omega) \hat\otimes H^\ell(\Omega)$ , donde $\hat\otimes$ es el producto tensorial del espacio de Hilbert (completado). Este espacio es igual a $H^\ell(\Omega_x;L^2(\Omega_y))\cap L^2(\Omega_x;H^\ell(\Omega_y))$ que, por interpolación, está contenida en $H^{\ell-t}(\Omega_x;H^t(\Omega_y))$ para cualquier $0\leq t\leq \ell$ . Así que, efectivamente, su núcleo pertenece a $H^\ell(\Omega\times \Omega)$ .