¿Cómo pueden dos dominios diferentes asignarse al mismo rango en una función? Sinceramente, estoy intentando mejorar en matemáticas, así que lo siento si parezco ignorante. Una función debe tener cada valor de dominio asociado a un solo valor y. Ok, eso tiene sentido. Pero entonces, en una función, un valor y ES capaz de asignarse a 2 dominios diferentes. ¿Por qué? Esto desconcierta mi lógica. Una función tiene una regla, así que si, por ejemplo, mi regla es f(x)=x+1 , entonces puedo tener el siguiente conjunto: {(1,2),(2,3)}. Este conjunto sigue la función, sin embargo, no puedo tener un conjunto como: {(1,2),(1,3)}, de acuerdo con mi regla. Sin embargo, una función PUEDE tener una relación de las siguientes: {(1,2),(2,2)}, esto está permitido en una función, sin embargo, no veo cómo esto podría seguir mi regla? ¿Hay algún ejemplo en el que se pueda demostrar lo contrario a mi cerebro? lol ¡Gracias chicos!
Respuestas
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Creo que intuitivamente la idea es Una función toma su entrada y sigue una regla para producir su salida. A veces, seguir la regla para diferentes entradas conduce al mismo resultado de salida.
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Es posible que esté acostumbrado a funciones en las que diferentes entradas producen siempre diferentes salidas. Por ejemplo, "sumar uno a un número" es una función en la que diferentes entradas producen diferentes salidas. O "duplicar un número".
Sin embargo, algunas reglas pueden comportarse de forma diferente: incluso si se empieza con dos entradas diferentes, la regla puede transformarlas en la misma salida.
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He aquí un ejemplo: una función como $f(x)=x^2$ envía cada número a su cuadrado. Así, por ejemplo, $f(3)=3\cdot 3 = 9$ . Como (-3)(-3) = +9, sabemos que $f(-3)=9$ también. Por lo tanto, elevar al cuadrado -3 y elevar al cuadrado 3 terminan siendo el mismo resultado.
Así, la función se construye con las tuplas $(3,9)$ y también $(-3, 9)$ .
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O puede considerar la regla $g(x)$ que toma un número y te dice si es impar o par. Entonces $g(2)=g(4)=g(6)=\ldots = \mathsf{even}$ y $g(1)=g(3)=g(5)=\ldots = \mathsf{odd}$ . Muchas entradas conducen al mismo resultado.
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Las funciones pueden incluso tratar otras cosas además de los números. Imagine una función cuyas entradas son personas y cuyas salidas son números: la edad de la persona. Entonces esta regla puede asociar dos personas diferentes con la misma edad.
Las funciones están diseñadas para modelar relaciones específicas, donde asociamos a cada entrada ("elemento del dominio") exactamente una salida ("elemento del rango"). Esta definición tiene una cierta asimetría: nada prohíbe que una función envíe varias entradas a la misma salida (pero no se preocupe, ¡también tenemos ese concepto en matemáticas! Las funciones que hacer envían diferentes entradas a diferentes salidas se denominan "uno a uno" o "inyectivas").
No es casualidad que (dada una función $f$ y un elemento $x$ en el ámbito de $f$ ) generalmente decimos " $f$ de $x$ " cuando vemos $f(x)$ . Muchas relaciones en el mundo real son funciones en el sentido matemático, y esto es especialmente claro si podemos decir " el $\_\_\_$ de $\_\_\_$ ".
Por ejemplo, "la madre (biológica) de $x$ "es una función del conjunto de todas las personas al conjunto de todas las personas, que asocia con una persona $x$ la madre de esa persona. Cualquier persona tiene exactamente una madre biológica, y por lo tanto satisface la definición de una función (cada persona de entrada se empareja con exactamente una persona de salida).
Si denotamos esta función por $f$ entonces, para una mujer determinada $y$ la ecuación $f(x) = y$ puede tener muchas soluciones diferentes; una mujer puede tener más de un hijo, y para cualquier hijo $x$ de la madre $y$ La madre de $x$ es $y$ " es cierto (simbólicamente, $f(x) = y$ ). Este es un ejemplo en el que diferentes entradas (personas) pueden ser enviadas a la misma salida (su madre).
Aquí también vemos la asimetría: Si hubiéramos intentado definir nuestra función por "el hijo de $x$ ", que envía a cada madre biológica su hijo, esto no sería una función: Una entrada dada (madre biológica) puede corresponder a varias salidas (los hijos de esa madre). Ciertamente, constituye una relación entre las madres biológicas y las personas, pero en general, no hemos especificado ningún criterio que haga que las salidas sean únicas.
