Relación entre la acotación de una función y un operador

Question

Tengo una pequeña confusión sobre una función acotada y un operador acotado.

Sé que "todo operador es una función, pero no a la inversa". Para un operador el conjunto codominio debe ser un espacio lineal pero para una función el codominio es cualquier conjunto arbitrario.

Ahora dos definiciones :

" A función $f:A\to B$ se dice que acotado si existe una constante positiva $M$ tal que $|f(x)|\le M$ para todos $x\in A$ ."

"Un operador $T:X\to Y$ se dice que acotado si existe una constante positiva $M$ tal que $\lVert T(x)\rVert\le M\lVert x\rVert$ para todos $x\in X$ ."

Mi pregunta : Como un operador es una función, ¿cómo relaciono las dos definiciones anteriores? Es decir, ¿cómo puedo deducir la primera definición de la segunda?

Answer 1

El Único operador lineal que es un función limitada es la idéntica a cero, ya que si $Tx=y\ne 0$ para algunos $x$ entonces $$ \|T(nx)\|=n\|y\|\to \infty, \quad\text{as}\,\,\,n\to\infty. $$ Por lo tanto, si $T\not\equiv 0$ entonces $T$ no es una función acotada.

A operador lineal acotado es uno que está acotado en cualquier conjunto acotado.

Esto equivale a ser continuo. $T$ está acotado si $T$ es continua si $T$ es continua en $0$ .

Answer 2

No se puede, a menos que se restrinja el operador a un dominio acotado, como una bola de radio finito. El término acotado tiene, por razones históricas, un significado especial para los operadores (lineales), que es de facto diferente del que se utiliza para las funciones generales. En otras palabras, un operador lineal acotado no será acotado en el otro sentido, a menos que sea el operador cero.